Bài tập nâng cao · Bài 84
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 84
Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là $ \alpha $ thỏa mãn $ cos\alpha =\frac { 1 } { 3 } $. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ qua $ AC $ và vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ) $ chia khối chóp $ S.ABCD $ thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ O $ là tâm của đáy và $ I $ là trung điểm của $ AD $. Suy ra $ SI⊥AD $ và $ OI⊥AD $ $ \Rightarrow AD⊥\left ( { SOI } \right ) $ và $ \widehat { SIO }=\alpha $.
Từ $ O $ kẻ $ OH⊥SI\Rightarrow OH⊥\left ( { SAD } \right ) $ $ \Rightarrow \left ( { SOH } \right )⊥\left ( { SAD } \right ) $.
Gọi $ M=AH∩SD $ $ \Rightarrow \left ( { MAC } \right )⊥\left ( { SAD } \right ) $ do đó $ \left ( { P } \right )≡\left ( { MAC } \right ) $.
Tam giác $ SOI $ vuông tại $ O $ đường cao $ OH $, $ OI=\frac { 1 } { 2 }CD=\frac { a } { 2 } $.
$ \Rightarrow $ $ SI=\frac { OI } { cos \widehat { SIO } }=\frac { 3a } { 2 } $, $ IH=\frac { (OI)^2 } { SI }=\frac { a } { 6 },SH=SI-IH=\frac { 4a } { 3 } $.
Xét tam giác $ SAD $, từ $ I $ kẻ $ IN//AM $ $ \Rightarrow N $ là trung điểm của $ MD $.
Tam giác $ SIN $ có $ \frac { SM } { MN }=\frac { SH } { HI }=8 $ $ \Rightarrow \frac { SM } { SD }=\frac { 4 } { 5 } $.
Ta có $ \frac { V_{ S.MAC } } { V_{ S.ACD } }=\frac { SM } { SD }=\frac { 4 } { 5 }\Rightarrow \frac { V_{ M.ACD } } { V_{ S.ACD } }=\frac { 1 } { 5 }\Rightarrow \frac { V_{ M.ACD } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { 1 } { 10 } $.
Gọi $ V_{ 1 } $ là thể tích khối còn lại. $ V_{ 1 } =\frac { 9 } { 10 }V_{ S.ABCD } $.
Vậy $ \frac { V_{ M.ACD } } { V_{ 1 } }=\frac { 1 } { 9 }=0,11 $.