Cho khối chóp tứ giác $ S.ABCD $, mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ) $ đi qua trọng tâm các tam giác $ SAB $, $ SAC $, $ SAD $chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là $ V_{ 1 } $ và $ V_{ 2 } $$ \left ( { V_{ 1 }

Question

Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác Cho khối chóp tứ giác $ S.ABCD $, mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ) $ đi qua trọng tâm các tam giác $ SAB $, $ SAC $, $ SAD $chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là $ V_{ 1 } $ và $ V_{ 2 } $$ \left ( { V_{ 1 } < V_{ 2 } } \right ) $. Tính tỉ lệ $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } } $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 3/image1178.png] Gọi $ I,J,L $ lần lượt là trong tâm của các tam giác $ SAB $, $ SAC $, $ SAD $. $ H,G,F $lần lượt là trung điểm của $ AD,AC,AB $. Dễ thấy $ mp\left ( { IJL } \right )//mp\left ( { FGH } \right ) $ hay $ mp\left ( { \alpha } \right )//mp\left ( { ABCD } \right ) $ do đó ta có $ \frac { SI } { SF }=\frac { SJ } { SG }=\frac { SL } { SH }=\frac { 2 } { 3 } $ (theo tính chất trọng tâm tam giác). Gọi $ E,M,N,K $lần lượt là giao điểm của $ mp\left ( { \alpha } \right ) $ với các cạnh $ SA,SD,SC,SB $. Ta có $ \frac { SE } { SA }=\frac { SM } { SD }=\frac { SN } { SC }=\frac { SK } { SB }=\frac { 2 } { 3 } $, $ \frac { V_{ SEMN } } { V_{ SADC } }=\frac { SE } { SA }.\frac { SM } { SD }.\frac { SN } { SC }=\frac { 8 } { 27 } $, $ \frac { V_{ SEKN } } { V_{ SABC } }=\frac { SE } { SA }.\frac { SK } { SB }.\frac { SN } { SC }=\frac { 8 } { 27 } $ Do đó $ \frac { 8 } { 27 }=\frac { V_{ SEMN } } { V_{ SADC } }=\frac { V_{ SEKN } } { V_{ SABC } }=\frac { V_{ SEMN } +V_{ SEKN } } { V_{ SADC } +V_{ SABC } }=\frac { V_{ S.EMNK } } { V_{ S.ABCD } } $$ \Rightarrow V_{ 1 } =V_{ SEMNK } =\frac { 8 } { 27 }V_{ SABCD } $$ V_{ 2 } =\frac { 19 } { 27 }V_{ S.ABCD } $ $ \Rightarrow \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=\frac { 8 } { 19 } $.

Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 83