Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 82

Trong mp $ \left ( { ABB'A' } \right ) $ có $ MB' $ cắt $ AA' $ tại $ K $. Trong $ \left ( { ADD'A' } \right ) $ có $ KD' $ cắt $ AD $ tại $ N $. Vậy mặt phẳng $ \left ( { MB'D' } \right ) $ cắt khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $ theo thiêt diện là tứ giác $ B'D'MN $. Thiết diện trên chia khối hộp thành hai phần trong đó phần khối đa diện chứa đỉnh $ A $ là khối đa diện$ AMN.A'B'D' $.
Ta có$ \left \{ \begin{array}{l} MN=\left ( { MB'D' } \right )∩\left ( { ABCD } \right ) \\ B'D'⊂\left ( { MB'D' } \right ),BD⊂\left ( { ABCD } \right ) \\ B'D'\parallel BD \end{array} \right.\Rightarrow MN\parallel B'D'\parallel BD $.
Do $ M $ là trung điểm của $ AB\Rightarrow $$ N $ là trung điểm của $ AD $.
Áp dụng định lý Ta lét ta có:$ \frac { KA } { KA' }=\frac { KM } { KB' }=\frac { KN } { KD' }=\frac { MN } { BD }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow \frac { V_{ KAMN } } { V_{ KA'B'D' } }=\frac { KA.KM.KN } { KA'.KB'.KC' }=\frac { 1 } { 8 } $
$ \Rightarrow V_{ AMN.A'B'D' } =\frac { 7 } { 8 }V_{ KA'B'D' } =\frac { 7 } { 8 }.\frac { 1 } { 3 }.d\left ( { K;\left ( { A'B'D' } \right ) } \right ).S_{ A'B'D' } $
$ =\frac { 7 } { 24 }.2d\left ( { A;\left ( { A'B'C'D' } \right ) } \right ).\frac { 1 } { 2 }S_{ A'B'C'D' } =\frac { 7 } { 24 }.V_{ ABCD.A'B'C'D' } =\frac { 7 } { 24 }.2019=\frac { 4711 } { 8 } $.
Vậy thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh $ A $ là $ V_{ AMN.A'B'D' } =\frac { 4711 } { 8 } $.