Cho lăng trụ tam giác $ ABC.A'B'C' $. $ M,N $ lần lượt là trung điểm $ AB,AC;P $ thuộc đoạn $ CC' $ sao cho $ \frac { CP } { CC' }=x. $ Tìm $ x $ để mặt phẳng $ \left ( { MNP } \right ) $ chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là $ \frac { 1 } { 2 } $.

Question

Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác Cho lăng trụ tam giác $ ABC.A'B'C' $. $ M,N $ lần lượt là trung điểm $ AB,AC;P $ thuộc đoạn $ CC' $ sao cho $ \frac { CP } { CC' }=x. $ Tìm $ x $ để mặt phẳng $ \left ( { MNP } \right ) $ chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là $ \frac { 1 } { 2 } $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 3/image1128.png] Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} P\in \left ( { MNP } ight )∩\left ( { BB'C'C } ight ) \ MN//BC \ MN⊂\left ( { MNP } ight ) \ BC⊂\left ( { BB'C'C } ight ) \end{array} ight.\Rightarrow \left ( { MNP } ight )∩\left ( { BB'C'C } ight )=PT//MN//BC\Rightarrow \frac { BT } { BB' }=x\in \left[ 0;1 ight] $. Thiết diện tạo bởi $ \left ( { MNP } ight ) $ với khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ là hình tứ giác $ MNPT $. Ta có $ V_{ TPMNCB } =V_{ T.BCNM } +V_{ N.TPC } { m{ } }\left ( { 1 } ight ) $. Mà: $ V_{ T.BCNM } =\frac { 1 } { 3 }S_{ BNCM } .d\left ( { T;\left ( { BCNM } ight ) } ight )=\frac { 1 } { 3 }\left ( { S_{ ABC } -S_{ AMN } } ight ).d\left ( { T;\left ( { BCNM } ight ) } ight ) $ $ =\frac { 1 } { 3 }.\left ( { 1-\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 } } ight )S_{ ABC } .x.d\left ( { B';\left ( { ABC } ight ) } ight )=\frac { x } { 4 }V_{ ABC.A'B'C' } $ $ V_{ N.TPC } =\frac { 1 } { 3 }S_{ TPC } .d\left ( { N;\left ( { BB'C'C } ight ) } ight )=\frac { 1 } { 3 }\left ( { S_{ BB'C'C } -S_{ BTC } -S_{ B'C'PT } } ight ).\frac { 1 } { 2 }d\left ( { A;\left ( { BB'C'C } ight ) } ight ) $ $ =\frac { 1 } { 3 }\left ( { 1-\frac { x } { 2 }-\left ( { 1-x } ight ) } ight )S_{ BB'C'C } .\frac { 1 } { 2 }d\left ( { A;\left ( { BB'C'C } ight ) } ight )=\frac { x } { 4 }V_{ A.BCC'B' } =\frac { x } { 4 }.\frac { 2 } { 3 }V_{ ABC.A'B'C' } =\frac { x } { 6 }V_{ ABC.A'B'C' } $. Thay vào $ \left ( { 1 } ight ) $, ta được $ V_{ TPMNCB } =\left ( { \frac { x } { 4 }+\frac { x } { 6 } } ight )V_{ ABC.A'B'C' } =\frac { 5x } { 12 }V_{ ABC.A'B'C' } $. Mặt phẳng $ \left ( { MNP } ight ) $ chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là $ \frac { 1 } { 2 } $ $ \Leftrightarrow \left[ V_{ TPMNCB } =\frac { 1 } { 3 }V_{ ABC.A'B'C' } \ V_{ TPMNCB } =\frac { 2 } { 3 }V_{ ABC.A'B'C' } ight.\Leftrightarrow \left[ \frac { 5x } { 12 }=\frac { 1 } { 3 } \ \frac { 5x } { 12 }=\frac { 2 } { 3 } ight.\Leftrightarrow \left[ x=\frac { 4 } { 5 }{ m{ } }\left ( { Nhan } ight ) \ x=\frac { 8 } { 5 }{ m{ } }\left ( { Loai } ight ) ight. $. Vậy $ x=\frac { 4 } { 5 } $ thoả YCBT.

Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 81