Bài tập nâng cao · Bài 80
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 80
Cho hình lăng trụ $ ABCD.A'B'C'D' $ đáy là hình bình hành. $ AC=BC=a $, $ CD=a\sqrt[] { 2 } $, $ AC'=a\sqrt[] { 3 } $, $ \widehat { CA'B' }= \widehat { A'D'C }=90° $. Thể tích khối tứ diện $ BCDA' $ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ lên mặt phẳng $ \left ( { A'B'C'D' } \right ) $.
Ta có $ B'A'⊥A'H $(vì $ B'A'⊥A'C $; $ B'A'⊥CH $)
$ A'D'⊥D'H $ (vì $ A'D'⊥D'C $; $ A'D'⊥CH $)
Xét tứ giác $ A'D'HC' $ có $ \widehat { A' }= \widehat { D' }=90° $, $ A'H⊥C'D' $, $ A'C'=A'D'=a $.
Suy ra tứ giác $ A'D'HC' $ là hình vuông.
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} C'H//A'D' \\ C'H=A'D' \end{array} \right.\Rightarrow $ $ B',\,\,C,\,\,H $ thẳng hàng $ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} C'H//BC \\ C'H=BC \end{array} \right. $
Vậy tứ giác $ BCHC' $ là hình vuông, suy ra $ BC'//CH\Rightarrow BC'⊥\left ( { ABCD } \right ) $.
Xét tam giác $ C'BA $ vuông tại $ B $ có $ BC'=\sqrt[] { (C'A)^2 -(AB)^2 }=\sqrt[] { 3a ^ { 2 } -2a ^ { 2 } }=a $.
Thể tích khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $ là $ V_{ ABCD.A'B'C'D' } =a.2.\frac { 1 } { 2 }a.a=a ^ { 3 } $.
Mà $ V_{ BCDA' } =\frac { 1 } { 6 }V_{ ABCD.A'B'C'D' } =\frac { a ^ { 3 } } { 6 } $.
Ta có $ B'A'⊥A'H $(vì $ B'A'⊥A'C $; $ B'A'⊥CH $)
$ A'D'⊥D'H $ (vì $ A'D'⊥D'C $; $ A'D'⊥CH $)
Xét tứ giác $ A'D'HC' $ có $ \widehat { A' }= \widehat { D' }=90° $, $ A'H⊥C'D' $, $ A'C'=A'D'=a $.
Suy ra tứ giác $ A'D'HC' $ là hình vuông.
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} C'H//A'D' \\ C'H=A'D' \end{array} \right.\Rightarrow $ $ B',\,\,C,\,\,H $ thẳng hàng $ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} C'H//BC \\ C'H=BC \end{array} \right. $
Vậy tứ giác $ BCHC' $ là hình vuông, suy ra $ BC'//CH\Rightarrow BC'⊥\left ( { ABCD } \right ) $.
Xét tam giác $ C'BA $ vuông tại $ B $ có $ BC'=\sqrt[] { (C'A)^2 -(AB)^2 }=\sqrt[] { 3a ^ { 2 } -2a ^ { 2 } }=a $.
Thể tích khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $ là $ V_{ ABCD.A'B'C'D' } =a.2.\frac { 1 } { 2 }a.a=a ^ { 3 } $.
Mà $ V_{ BCDA' } =\frac { 1 } { 6 }V_{ ABCD.A'B'C'D' } =\frac { a ^ { 3 } } { 6 } $.