Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 77

Ta có $ AC=\sqrt[] { (BC)^2 -(AB)^2 }=\sqrt[] { \left ( { 6a } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 3a } \right ) ^ { 2 } }=3a\sqrt[] { 3 } $.
*) Gọi $ I $ là trung điểm của $ BB_{ 1 } $, gọi $ I_{ 1 } $ là tiếp điểm của $ Cy $ và mặt cầu đường kính $ BB_{ 1 } $
Ta có $ BB_{ 1 } =2II_{ 1 } =2BC=2.6a=12a $.
*) Gọi $ K $ là trung điểm của $ AC_{ 1 } $, gọi $ K_{ 1 } $ là tiếp điểm của $ Bx $ và mặt cầu đường kính $ AC_{ 1 } $.
Gọi $ K_{ 2 } $ là trung điểm của $ AC $.
Dễ thấy $ BK_{ 1 } KK_{ 2 } $ là hình chữ nhật $ \Rightarrow K_{ 1 } K=BK_{ 2 } $.
Có $ BK_{ 2 } =\sqrt[] { (AB)^2 +\left ( { \frac { 1 } { 2 }AC } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { 3a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 3a\sqrt[] { 7 } } { 2 } $.
Ta có $ AC_{ 1 } =2KK_{ 1 } =2.\frac { 3a\sqrt[] { 7 } } { 2 }=3a\sqrt[] { 7 } $.
Xét tam giác vuông $ ACC_{ 1 } $, có $ CC_{ 1 } =\sqrt[] { AC_{ 1 } ^ { 2 } -(AC)^2 }=\sqrt[] { \left ( { 3a\sqrt[] { 7 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 3a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } }=6a $.
Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ BC $. Suy ra $ AH⊥\left ( { BCC_{ 1 } B_{ 1 } } \right ) $.
Xét tam giác $ ABC $, có $ \frac { 1 } { (AH)^2 }=\frac { 1 } { (AB)^2 }+\frac { 1 } { (AC)^2 }=\frac { 1 } { 9a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 27a ^ { 2 } }=\frac { 4 } { 27a ^ { 2 } }\Rightarrow AH=\frac { 3a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $
$ V_{ ABCC_{ 1 } B_{ 1 } } =\frac { 1 } { 3 }.AH.S_{ BCC_{ 1 } B_{ 1 } } =\frac { 1 } { 3 }.AH.\frac { 1 } { 2 }\left ( { BB_{ 1 } +CC_{ 1 } } \right ).BC=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 3a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }\left ( { 12a+6a } \right ).6a=27\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } $.