Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 76

Do tứ diện $ ABCD $ đều nên hình chiếu của các đỉnh lên mặt đối diện là trọng tâm của tam giác tương ứng.
Gọi $ E $, $ F $ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ BCD $ và $ ABC $.
Gọi $ I $ là giao điểm của $ AE $ và $ DF $ thì $ I $ là trọng tâm của tứ diện $ ABCD $.
Gọi $ M $, $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC $, $ CD $.
Ta có $ \frac { IE } { IA }=\frac { EF } { AD }=\frac { ME } { MD }=\frac { 1 } { 3 } $, suy ra $ \frac { IE+IA } { IA }=\frac { 3+1 } { 3 }\Rightarrow IA=\frac { 3 } { 4 }EA=\frac { 3 } { 4 }EA' $.
Do đó $ \frac { IA' } { IA }=\frac { IE+EA' } { IA }=\frac { 1 } { 3 }+\frac { 4 } { 3 }=\frac { 5 } { 3 } $.
Tương tự ta cũng có các tỉ lệ $ \frac { IB' } { IB }=\frac { IC' } { IC }=\frac { ID' } { ID }=\frac { 5 } { 3 } $.
Ta có $ A'=V_{ \left ( { I,-\frac { 5 } { 3 } } \right ) } \left ( { A } \right ) $, $ B'=V_{ \left ( { I,-\frac { 5 } { 3 } } \right ) } \left ( { B } \right ) $, $ C'=V_{ \left ( { I,-\frac { 5 } { 3 } } \right ) } \left ( { C } \right ) $, $ D'=V_{ \left ( { I,-\frac { 5 } { 3 } } \right ) } \left ( { D } \right ) $.
Do đó $ V_{ A'B'C'D' } =\left | { -\frac { 5 } { 3 } } \right | ^ { 3 } V_{ ABCD } $.
Diện tích tam giác $ BCD $ là $ S_{ \Delta BCD } =\frac { 1 } { 2 }BC.CD.sin60°=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Có $ BN=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $, $ BE=\frac { 2 } { 3 }BN=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $, $ AE=\sqrt[] { (AB)^2 -(BE)^2 }=\sqrt[] { 1-\frac { 1 } { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 } $.
Thể tích khối tứ diện $ ABCD $ là $ V_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 12 } $.
Suy ra $ V_{ A'B'C'D' } =\frac { 125 } { 27 }.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 12 }=\frac { 125\sqrt[] { 2 } } { 324 } $.