Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 75

Ta có khối tứ diện $ ABCD $ đều nên $ V_{ ABCD } =\frac { \sqrt[] { 2 } } { 12 } $ và $ O $ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện $ ABCD $ cũng là trọng tâm của tứ diện.
Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ BCD\Rightarrow O\in AG $ và $ AO=3OG $.
Gọi $ E,F,H $ lần lượt là trung điểm của $ BC,BD,CD $.
Gọi $ I=AG∩\left ( { MNP } \right ) $. Ta có
$ AI=\frac { 2 } { 3 }AG,AO=\frac { 3 } { 4 }AG\Rightarrow OI=AO-AI=\frac { 1 } { 12 }AG\Rightarrow OI=\frac { 1 } { 8 }AI $
hay $ d\left ( { O,\left ( { MNP } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 8 }d\left ( { A,\left ( { MNP } \right ) } \right ) $.
Vì $ \Delta MNP $ đồng dạng với $ \Delta EFH $ tỉ số $ \frac { 2 } { 3 } $ $ \Rightarrow S_{ MNP } =\frac { 4 } { 9 }S_{ EFH } $. Mặt khác $ S_{ EFH } =\frac { 1 } { 4 }S_{ BCD } $.
$ V_{ OMNP } =\frac { 1 } { 3 }d\left ( { O,\left ( { MNP } \right ) } \right ).S_{ MNP } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 8 }d\left ( { A,\left ( { MNP } \right ) } \right ).\frac { 4 } { 9 }S_{ EFH } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 18 }.\frac { 2 } { 3 }d\left ( { A,\left ( { EFH } \right ) } \right ).S_{ EFH } $
$ =\frac { 1 } { 27 }V_{ AEFH } =\frac { 1 } { 27 }.\frac { 1 } { 4 }V_{ ABCD } =\frac { 1 } { 108 }V_{ ABCD } =\frac { 1 } { 108 }.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 12 }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 1296 } $.