Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ AB=AC=4,BC=2;SA=4\sqrt[] { 3 };∠SAB=∠SAC=30 ^ { 0 } $. Gọi $ G_{ 1 } ,G_{ 2 } ,G_{ 3 } $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ \Delta SBC;\Delta SCA;\Delta SAB $và $ T $ đối xứng $ S $ qua mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Thể tích của khối chóp $ T.G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } $bằng$ \frac { a } { b } $ với $ a,b\in \mathbb{N} $ và $ \frac { a } { b } $ tối giản. Tính giá trị $ P=2a-b $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét tam hai tam giác: $ \Delta SBC;\Delta SAB $có:
$ SA $chung.
$ AB=AC; \widehat { SAB }= \widehat { SAC }=30°\Rightarrow \Delta SAB=\Delta SAC\Rightarrow SB=SC. $
Suy ra tam giác $ \Delta SBC;\Delta ABC $ cân.
Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $ ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥SI \\ BC⊥AI \end{array} \right.\Rightarrow BC⊥\left ( { SAI } \right )\Rightarrow \left ( { SAI } \right )⊥\left ( { ABC } \right ) $
Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ trên $ AI\Rightarrow AH⊥\left ( { ABC } \right ) $
Xét tam giác$ \Delta SAB $ ta có:
$ (SB)^2 =(SA)^2 +(AB)^2 -2SA.AB.cos \widehat { SAB }=48+16-2.4\sqrt[] { 3 }.4cos30°=16\Rightarrow SB=SC=4 $
Suy ra $ \Delta SBC=\Delta ABC\left ( { c.c.c } \right )\Rightarrow AI=SI=\sqrt[] { (AB)^2 -(BI)^2 }=\sqrt[] { 16-1 }=\sqrt[] { 15 } $
Tam giác $ \Delta SIA $ cân tại $ I $ Gọi $ J $ là trung điểm của $ SA $ ta có: $ IJ=\sqrt[] { (AI)^2 -(JA)^2 }=\sqrt[] { 15-12 }=\sqrt[] { 3 } $
Ta lại có $ S_{ \Delta SIA } =\frac { 1 } { 2 }IJ.SA=\frac { 1 } { 2 }SH.AI\Rightarrow SH=\frac { IJ.SA } { AI }=\frac { \sqrt[] { 3 }.4\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 15 } }=\frac { 12 } { \sqrt[] { 15 } } $
Ta có: $ S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 2 }AI.BC=\sqrt[] { 15 }\Rightarrow V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SH.S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 12 } { \sqrt[] { 15 } }\sqrt[] { 15 }=4. $
Xét hình chóp $ T.G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } $ có: $ V_{ T.G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } } =\frac { 1 } { 3 }TK.S_{ \Delta G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 4 } { 3 }SH.\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } S_{ \Delta IMN } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 4 } { 3 }SH.\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } \frac { 1 } { 4 }S_{ \Delta ABC } =\frac { 4 } { 27 }V_{ S.ABC } =\frac { 16 } { 27 } $
Suy ra $ a=16;b=27\Rightarrow P=2a-b=5 $ có:
