Cho hình lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $ có tất cả các cạnh bằng $ 3a $. Gọi $ M $ thuộc cạnh $ B'C' $ sao cho $ MC'=2MB' $, $ N $ thuộc cạnh $ AC $ sao cho $ AC=4NC $. Mặt phẳng $ \left ( { A'MN } \right ) $ cắt cạnh $ BC $ tại $ Q $. Tính thể tích $ V $ của khối đa diện $ CQN.C'MA' $.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1.
Mặt phẳng $ \left ( { A'MN } \right ) $ cắt các mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ và $ \left ( { A'B'C' } \right ) $ theo các giao tuyến song song nên $ Q $ là giao điểm của đường thẳng qua $ N $ song song với $ A'M $ với cạnh $ BC $.
Kéo dài các đường $ A'N $, $ MQ $ và $ C'C $ đồng quy tại cùng một điểm $ P $ (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy).
Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt.
Ta có $ C'M=\frac { 2 } { 3 }B'C'=2a $, $ S_{ 1 } =S_{ \Delta A'C'M } =\frac { 1 } { 2 }A'C'.C'M.sin60°=\frac { 1 } { 2 }.3a.2a.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 } $.
Gọi $ E $ là điểm trên cạnh $ BC $ sao cho $ EC=2EB $thì $ A'M{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }AE $ nên
$ \frac { CQ } { CE }=\frac { CN } { CA }=\frac { 1 } { 4 }\Rightarrow CQ=\frac { 1 } { 4 }CE=\frac { 1 } { 4 }C'M=\frac { 1 } { 2 }a $.
Diện tích tam giác $ CNQ $ là $ S_{ 2 } =S_{ \Delta CNQ } =\frac { 1 } { 2 }CQ.CN.sin60°=\frac { 1 } { 2 }.\frac { a } { 2 }.\frac { 3a } { 4 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 32 } $.
Vậy $ V_{ CNQ.C'A'M } =\frac { CC' } { 3 }\left ( { S_{ 1 } +S_{ 2 } +\sqrt[] { S_{ 1 } S_{ 2 } } } \right )=a\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 }+\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 32 }+\sqrt[] { \frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 }.\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 32 } } } \right )=\frac { 63\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 32 } $.
Cách 2.
Mặt phẳng $ \left ( { A'MN } \right ) $ cắt các mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ và $ \left ( { A'B'C' } \right ) $ theo các giao tuyến song song nên $ Q $ là giao điểm của đường thẳng qua $ N $ song song với $ A'M $ với cạnh $ BC $.
Kéo dài các đường $ A'N $, $ MQ $ và $ C'C $ đồng quy tại cùng một điểm $ P $ (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy).
Ta có $ C'M=\frac { 2 } { 3 }B'C'=2a $, $ S_{ \Delta A'C'M } =\frac { 1 } { 2 }A'C'.C'M.sin60°=\frac { 1 } { 2 }.3a.2a.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 } $.
Lại có $ \frac { PC } { PC' }=\frac { CN } { A'C' }=\frac { CN } { AC }=\frac { 1 } { 4 }\Rightarrow \frac { PC } { CC' }=\frac { 1 } { 3 }\Rightarrow PC=\frac { 1 } { 3 }.3a=a\Rightarrow PC'=4a $.
Thể tích khối chóp $ P.C'A'M $ là $ V_{ P.C'A'M } =\frac { 1 } { 3 }.4a.\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 }=2\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } $.
Gọi $ E $ là điểm trên cạnh $ BC $ sao cho $ EC=2EB $thì $ A'M{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }AE $ nên
$ \frac { CQ } { CE }=\frac { CN } { CA }=\frac { 1 } { 4 }\Rightarrow CQ=\frac { 1 } { 4 }CE=\frac { 1 } { 4 }C'M=\frac { 1 } { 2 }a $.
Ta có $ S_{ \Delta CNQ } =\frac { 1 } { 2 }d\left ( { N,CQ } \right ).CQ=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 4 }.d\left ( { A,BC } \right ).CQ=\frac { 1 } { 8 }.\frac { 3a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }a=\frac { 3a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 32 } $.
Thể tích khối chóp $ P.CNQ $ là $ V_{ P.CNQ } =\frac { 1 } { 3 }PC.S_{ \Delta CNQ } =\frac { 1 } { 3 }.a.\frac { 3a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 32 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 32 } $.
Vậy $ V_{ CNQ.C'A'M } =V_{ P.C'A'M } -V_{ P.CNQ } =2\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } -\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 32 }=\frac { 63\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 32 } $.
Cách 3.
Mặt phẳng $ \left ( { A'MN } \right ) $ cắt các mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ và $ \left ( { A'B'C' } \right ) $ theo các giao tuyến song song nên $ Q $ là giao điểm của đường thẳng qua $ N $ song song với $ A'M $ với cạnh $ BC $.
Ta có $ V_{ CNQ.C'A'M } =V_{ N.MC'A' } +V_{ N.CQMC' } $.
Ta có $ C'M=\frac { 2 } { 3 }B'C'=2a $, $ S_{ \Delta A'C'M } =\frac { 1 } { 2 }A'C'.C'M.sin60°=\frac { 1 } { 2 }.3a.2a.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 } $.
$ V_{ CNQ.C'A'M } =\frac { 1 } { 3 }.CC'.S_{ \Delta A'C'M } =\frac { 1 } { 3 }.3a.\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 2 } $.
Gọi $ E $ là điểm trên cạnh $ BC $ sao cho $ EC=2EB $thì $ A'M{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }AE $ nên $ NQ{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }AE $, ta có:
$ \frac { CQ } { CE }=\frac { CN } { CA }=\frac { 1 } { 4 }\Rightarrow CQ=\frac { 1 } { 4 }CE=\frac { 1 } { 4 }C'M=\frac { 1 } { 2 }a $.
Diện tích hình thang $ CQMC' $ là $ S_{ \Delta CQMC' } =\frac { 1 } { 2 }CC'\left ( { CQ+C'M } \right )=\frac { 1 } { 2 }.3a.\left ( { \frac { 1 } { 2 }a+2a } \right )=\frac { 15a ^ { 2 } } { 4 } $.
Thể tích khối chóp $ N.CQMC' $ là
$ V_{ N.CQMC' } =\frac { 1 } { 3 }.d\left ( { N,\left ( { CQMC' } \right ) } \right ).S_{ \Delta CQMC' } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 4 }d\left ( { A,\left ( { BCC'B' } \right ) } \right ).S_{ \Delta CQMC' } =\frac { 1 } { 12 }.\frac { 3a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 15a ^ { 2 } } { 4 }=\frac { 15\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 32 } $
Thể tích khối đa diện cần tìm là
$ V_{ CNQ.C'A'M } =V_{ N.MC'A' } +V_{ N.CQMC' } =\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 2 }+\frac { 15\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 32 }=\frac { 63\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 32 } $.
