Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ SA=SB=SC=3 $, tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $ và $ AC=2\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AC $và $ BC $. Trên cạnh $ SA,SB $ lấy các điểm $ P,Q $ tương ứng sao cho $ SP=1;SQ=2 $. Tính thể tích $ V $ của tứ diện $ MNPQ $.

Question

Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ SA=SB=SC=3 $, tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $ và $ AC=2\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AC $và $ BC $. Trên cạnh $ SA,SB $ lấy các điểm $ P,Q $ tương ứng sao cho $ SP=1;SQ=2 $. Tính thể tích $ V $ của tứ diện $ MNPQ $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 3/image793.png] Gọi $ I $ là giao điểm của $ PQ $ và $ AB $ $ V_{ MNPQ } =V_{ I.MPN } -V_{ I.QMN } =V_{ P.MNI } -V_{ Q.MNI } $. Tính diện tích $ \Delta MNI $ $ MN=1 $ Gọi $ E $ là trung điểm của $ SQ $ $ \Rightarrow $ $ PE $ //$ AB $ và $ PE=\frac { 1 } { 3 }AB $ Ta có $ \Delta PEQ=\Delta IBQ{ m{ } }\left ( { g.c.g } ight ) $ $ \Rightarrow PE=IB $ $ \Rightarrow IB=\frac { 1 } { 3 }AB=\frac { 2 } { 3 } $. $ (IN)^2 =(BN)^2 +(IB)^2 =1+\frac { 4 } { 9 }=\frac { 13 } { 9 }\Rightarrow IN=\frac { \sqrt[] { 13 } } { 3 } $. Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ IAM $ có: $ (IM)^2 =(IA)^2 +(AM)^2 -2IA.AM.cos45 ^{ 0 } $ $ =\left ( { \frac { 8 } { 3 } } ight ) ^ { 2 } +\left ( { \sqrt[] { 2 } } ight ) ^ { 2 } -2.\frac { 8 } { 3 }.\sqrt[] { 2 }.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { 34 } { 9 }\Rightarrow IM=\frac { \sqrt[] { 34 } } { 9 } $. $ cos \widehat { MNI }= $ $ \frac { (MN)^2 +(IN)^2 -(MI)^2 } { 2.MN.IN }=\frac { 1+\frac { 13 } { 9 }-\frac { 34 } { 9 } } { 2.1.\frac { \sqrt[] { 13 } } { 3 } }=\frac { -2\sqrt[] { 13 } } { 13 } $. $ sin \widehat { MNI }=\sqrt[] { 1-cos ^ { 2 } \widehat { MNI } }=\frac { 3 } { \sqrt[] { 13 } } $. $ S_{ MNI } =\frac { 1 } { 2 }.MN.NI.sin \widehat { MNI }=\frac { 1 } { 2 }.1.\frac { \sqrt[] { 13 } } { 3 }.\frac { 3 } { \sqrt[] { 13 } }=\frac { 1 } { 2 } $. $ V_{ MNPQ } =\frac { 1 } { 3 }.d\left ( { P;(MIN) } ight ).S_{ MIN } -\frac { 1 } { 3 }.d\left ( { Q;(MIN) } ight ).S_{ MIN } \ { m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ = } }\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2 } { 3 }d\left ( { S;(MIN) } ight ).S_{ MIN } -\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }.d\left ( { S;(MIN) } ight ).S_{ MIN } \ { m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ = } }\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }d\left ( { S;(MIN) } ight ).S_{ MIN } =\frac { 1 } { 9 }d\left ( { S;(ABC) } ight ).S_{ MIN } $ Vì $ SA=SB=SC $ nên hình chiếu của đỉnh $ S $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABC } ight ) $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $. Mà tam giác$ ABC $ vuông tại $ B $ nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ chính là điểm $ M $Vậy $ V_{ MNPQ } =\frac { 1 } { 9 }.\sqrt[] { 7 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 7 } } { 18 } $.

Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 72