Bài tập nâng cao · Bài 71
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 71
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Trên các đoạn $ SA,{ \rm{ } }SB,{ \rm{ } }SC,{ \rm{ } }SD $ lấy lần lượt các điểm $ E,{ \rm{ } }F,{ \rm{ } }G,{ \rm{ } }H $ thỏa mãn $ \frac { SE } { SA }=\frac { SG } { SC }=\frac { 1 } { 3 } $, $ \frac { SF } { SB }=\frac { SH } { SD }=\frac { 2 } { 3 } $. Tỉ số thể tích khối $ EFGH $ với khối $ S.ABCD $ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ O $ là tâm hình bình hành $ ABCD $.
Trong $ \left ( { SBD } \right ) $ gọi $ I=FH∩SO $ $ \Rightarrow \frac { SI } { SO }=\frac { 2 } { 3 } $.
Trong $ \left ( { SAC } \right ) $ gọi $ J=EG∩SO $ $ \Rightarrow \frac { SJ } { SO }=\frac { 1 } { 3 } $.
$ \frac { V_{ SEJF } } { V_{ SAOB } }=\frac { SE } { SA }.\frac { SJ } { SO }.\frac { SF } { SB }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2 } { 3 }=\frac { 2 } { 27 } $.
$ \Rightarrow V_{ SEJF } =\frac { 2 } { 27 }V_{ SAOB } =\frac { 2 } { 27 }.\frac { 1 } { 4 }V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 54 }V_{ S.ABCD } $
$ \frac { V_{ SEIF } } { V_{ SAOB } }=\frac { SE } { SA }.\frac { SI } { SO }.\frac { SF } { SB }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2 } { 3 }.\frac { 2 } { 3 }=\frac { 4 } { 27 } $.
$ \Rightarrow V_{ SEIF } =\frac { 4 } { 27 }V_{ SAOB } =\frac { 4 } { 27 }.\frac { 1 } { 4 }V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 27 }V_{ S.ABCD } $. $ V_{ F.EIJ } =V_{ S.EIF } -V_{ SEJF } =\frac { 1 } { 27 }V_{ S.ABCD } -\frac { 1 } { 54 }V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 54 }V_{ S.ABCD } $.
Chứng minh tự ta có:
$ V_{ F.IJG } =V_{ H.IJG } =V_{ H.IJE } =\frac { 1 } { 54 }V_{ S.ABCD } $.
$ V_{ EFGH } =V_{ F.EJI } +V_{ F.IJG } +V_{ H.IJG } +V_{ H.IJE } =\frac { 4 } { 54 }V_{ S.ABCD } =\frac { 2 } { 27 }V_{ S.ABCD } $
$ \Rightarrow \frac { V_{ EFGH } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { 2 } { 27 } $.