Bài tập nâng cao · Bài 70
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 70
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành và có thể tích là $ V $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SB $. Gọi $ P $ là điểm thuộc cạnh $ SD $ sao cho $ SP=2DP $. Mặt phẳng $ \left ( { AMP } \right ) $ cắt cạnh $ SC $tại $ N $. Tính thể tích của khối đa diện $ ABCDMNP $ theo $ V $.
Xem lời giải
Lời giải
Trong $ \left ( { ABCD } \right ) $ gọi $ O=AC∩BD $.
Trong $ \left ( { SBD } \right ) $ gọi $ I=SO∩MP $.
Trong $ \left ( { SAC } \right ) $ gọi $ N=SC∩AI $.
Trong $ \left ( { SBD } \right ) $, qua M kẻ đường thẳng song song với $ BD $ cắt $ SO $ tại $ H $, qua P kẻ đường thẳng song song với $ BD $ cắt $ SO $ tại $ K $.
Gọi $ T $ là trung điểm $ NC $.
Ta có: $ \frac { IH } { IK }=\frac { MH } { PK }=\frac { \frac { 1 } { 2 }BO } { \frac { 2 } { 3 }BO }=\frac { 3 } { 4 } $.
$ HK=SO-SH-OK=SO-\frac { 1 } { 2 }SO-\frac { 1 } { 3 }SO=\frac { 1 } { 6 }SO $.
$ \frac { IH } { 3 }=\frac { IK } { 4 }=\frac { IH+IK } { 7 }=\frac { \frac { 1 } { 6 }SO } { 7 }=\frac { 1 } { 42 }SO $.
$ \frac { SI } { SO }=\frac { SH+IH } { SO }=\frac { \frac { 1 } { 2 }SO+\frac { 1 } { 14 }SO } { SO }=\frac { 4 } { 7 } $.
$ \Rightarrow \frac { SN } { ST }=\frac { 4 } { 7 } $.
$ \Rightarrow \frac { SN } { SC }=\frac { 4 } { 10 }=\frac { 2 } { 5 } $.
$ \frac { V_{ S.AMNP } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { 1 } { 2 }\left[ \frac { V_{ S.AMN } } { V_{ S.ACB } }+\frac { V_{ S.ANP } } { V_{ S.ACD } } \right]=\frac { 1 } { 2 }\left[ \frac { SM } { SB }.\frac { SN } { SC }+\frac { SP } { SD }.\frac { SN } { SC } \right] $$ =\frac { 1 } { 2 }\left[ \frac { 1 } { 2 }.\frac { 2 } { 5 }+\frac { 2 } { 5 }.\frac { 2 } { 3 } \right]=\frac { 7 } { 30 } $.$ V_{ ABCD.AMNP } =V_{ S.ABCD } -V_{ S.AMNP } =V-\frac { 7 } { 30 }V=\frac { 23 } { 30 }V $.