Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 69

Ta dựng được thiết diện là ngũ giác $ MNQPR $.
Đặt $ d\left ( { B;\left ( { A'B'C' } \right ) } \right )=h,\,A'B'=a,\,\,d\left ( { C;A'B' } \right )=2b $.
Khi đó ta có thể tích lăng trụ $ V=\frac { 1 } { 2 }.d\left ( { C';A'B' } \right ).A'B'.d\left[ B;\left ( { A'B'C' } \right ) \right]=\frac { 1 } { 2 }.2b.a.h=abh $.
Xét hình chóp $ L.JPB' $ có:
$ \frac { LN } { LJ }=\frac { LB } { LB' }=\frac { NB } { JB' }=\frac { 1 } { 3 } $ suy ra $ d\left[ L;\left ( { A'B'C' } \right ) \right]=\frac { 3 } { 2 }d\left[ B;\left ( { A'B'C' } \right ) \right]=\frac { 3 } { 2 }h $,$ JB'=\frac { 3 } { 2 }A'B'=\frac { 3 } { 2 }a $,$ d\left ( { P;A'B' } \right )=\frac { 1 } { 2 }d\left ( { C';A'B' } \right )=b $.
Suy ra thể tích khối chóp$ L.JPB' $ là $ V_{ L.JPB' } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 3 } { 2 }h.\frac { 1 } { 2 }.\frac { 3 } { 2 }a.b=\frac { 3 } { 8 }abh=\frac { 3 } { 8 }V $.
Mặt khác ta có: $ \frac { V_{ L.NBQ } } { V_{ L.JPB' } }=\frac { LN } { LJ }.\frac { LB } { LB' }.\frac { LQ } { LP }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }=\frac { 1 } { 27 }\Rightarrow V_{ L.NBQ } =\frac { 1 } { 27 }V_{ L.JPB' } =\frac { 1 } { 27 }.\frac { 3 } { 8 }V=\frac { 1 } { 72 }V $
$ \frac { V_{ J.RA'M } } { V_{ L.JPB' } }=\frac { JM } { JL }.\frac { JA' } { JB' }.\frac { JR } { JP }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 18 }\Rightarrow V_{ J.A'RM } =\frac { 1 } { 18 }V_{ L.JPB' } =\frac { 1 } { 18 }.\frac { 3 } { 8 }V=\frac { 1 } { 48 }V $.
Suy ra thể tích khối đa diện $ V_{ NQBB'PRA' } =V_{ L.JPB' } -V_{ L.NBQ } -V_{ J.A'RM } =\frac { 3 } { 8 }V-\frac { 1 } { 72 }V-\frac { 1 } { 48 }V=\frac { 49 } { 144 }V $.