Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 78

Gọi $ H $ là trung điểm của $ AD $. Do tam giác $ SAD $ đều nên $ SH⊥AD $.
Do $ \left ( { SAD } \right )⊥\left ( { ABCD } \right )\Rightarrow SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $.
Gọi $ N $ là trung điểm của $ SC $; $ I=MN∩SO $.
Ta thấy $ I $ là trung điểm của $ MN $ và $ I $ là trung điểm của $ SO $.
Khi đó $ d\left ( { O;\left ( { DMN } \right ) } \right )=d\left ( { S;\left ( { DMN } \right ) } \right )\Rightarrow V_{ O.DMG } =V_{ S.DMG } $.
Ta có $ \frac { V_{ S.MID } } { V_{ S.AOD } }=\frac { SM } { SA }.\frac { SI } { SO }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 4 };\frac { V_{ S.NID } } { V_{ S.COD } }=\frac { SN } { SC }.\frac { SI } { SO }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 4 } $.
Mà $ V_{ S.AOD } =V_{ S.COD } =\frac { 1 } { 2 }.V_{ S.ADC } \Rightarrow V_{ S.MND } =V_{ S.MID } +V_{ S.NID } =\left ( { \frac { 1 } { 4 }+\frac { 1 } { 4 } } \right ).\frac { 1 } { 2 }.V_{ S.ADC } =\frac { 1 } { 8 }.V_{ S.ABCD } $
Lại có $ S_{ S.ABCD } =AB.AD=a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 };SH=a\sqrt[] { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3a } { 2 }\Rightarrow V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.SH.S_{ ABCD } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Khi ấy ta được $ V_{ S.MND } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 16 } $
Mặt khác $ \frac { S_{ MDG } } { S_{ MDN } }=\frac { DG } { DN }=\frac { 2 } { 3 }\Rightarrow V_{ S.MDG } =\frac { 2 } { 3 }.V_{ S.MDN } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 24 } $. Vậy $ V_{ O.DMG } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 24 } $.