Bài tập nâng cao · Bài 79
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 79
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ M,N $ lần lượt thuộc các cạnh $ SA,SD $ sao cho $ 3SM=2SA $, $ 3SN=2SD $. Mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ) $ chứa $ MN $ cắt cạnh $ SB,SC $ lần lượt tại $ Q,P $. Đặt $ \frac { SQ } { SB }=x $, $ V_{ 1 } $ là thể tích của khối chóp $ S.MNPQ $, $ V $ là thể tích khối chóp $ S.ABCD $. Tìm $ x $ để $ V_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }V $.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1.
Ta có $ V_{ 1 } =V_{ S.MNPQ } =V_{ S.MNQ } +V_{ S.PNQ } $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { \alpha } \right )∩\left ( { SBC } \right )=PQ \\ MN//BC \\ MN⊂\left ( { \alpha } \right ) \\ BC⊂\left ( { SBC } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow PQ//MN//BC\Rightarrow \frac { SP } { SC }=\frac { SQ } { SB }=x $.
Có $ \frac { V_{ S.MNQ } } { V_{ S.ADB } }=\frac { SM } { SA }.\frac { SN } { SD }.\frac { SQ } { SB }=\frac { 2 } { 3 }.\frac { 2 } { 3 }.x=\frac { 4x } { 9 }\Rightarrow V_{ S.MNQ } =\frac { 4x } { 9 }V_{ S.ADB } =\frac { 4x } { 9 }.\frac { V } { 2 }=\frac { 2x } { 9 }V $.
Đồng thời $ \frac { V_{ S.PNQ } } { V_{ S.CDB } }=\frac { SP } { SC }.\frac { SN } { SD }.\frac { SQ } { SB }=x.\frac { 2 } { 3 }.x=\frac { 2x ^ { 2 } } { 3 }\Rightarrow V_{ S.PNQ } =\frac { 2x ^ { 2 } } { 3 }V_{ S.CDB } =\frac { 2x ^ { 2 } } { 3 }.\frac { V } { 2 }=\frac { x ^ { 2 } } { 3 }V $.
Như vậy $ V_{ 1 } =\left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 3 }+\frac { 2x } { 9 } } \right )V $. Mà theo giả thiết ta có $ V_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }V $ nên ta suy ra:
$ \frac { x ^ { 2 } } { 3 }+\frac { 2x } { 9 }=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow \left[ x=\frac { -2+\sqrt[] { 58 } } { 6 }{ \rm{ } }\left ( { Nhan } \right ) \\ x=\frac { -2-\sqrt[] { 58 } } { 6 }{ \rm{ } }\left ( { Loai } \right ) \right. $. Vậy $ x=\frac { -2+\sqrt[] { 58 } } { 6 } $.
Cách 2.
Đặt $ a=\frac { SM } { SA }=\frac { 2 } { 3 };{ \rm{ } }b=\frac { SN } { SD }=\frac { 2 } { 3 };{ \rm{ } }c=\frac { SP } { SC } $. Ta có $ \frac { 1 } { a }+\frac { 1 } { c }=\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { x }\Rightarrow c=x $.
Lại có $ \frac { V_{ 1 } } { V }=\frac { abcx } { 4 }\left ( { \frac { 1 } { a }+\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }+\frac { 1 } { x } } \right )=\frac { x ^ { 2 } } { 9 }\left ( { 3+\frac { 2 } { x } } \right ) $.
Mà $ \frac { V_{ 1 } } { V }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow 6x ^ { 3 } +4x ^ { 2 } -9x=0\Leftrightarrow \left[ x=0{ \rm{ } }\left ( { Loai } \right ) \\ x=\frac { -2+\sqrt[] { 58 } } { 6 }{ \rm{ } }\left ( { Nhan } \right ) \\ x=\frac { -2-\sqrt[] { 58 } } { 6 }{ \rm{ } }\left ( { Loai } \right ) \right. $.
Vậy $ x=\frac { -2+\sqrt[] { 58 } } { 6 } $.
Ta có $ V_{ 1 } =V_{ S.MNPQ } =V_{ S.MNQ } +V_{ S.PNQ } $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { \alpha } \right )∩\left ( { SBC } \right )=PQ \\ MN//BC \\ MN⊂\left ( { \alpha } \right ) \\ BC⊂\left ( { SBC } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow PQ//MN//BC\Rightarrow \frac { SP } { SC }=\frac { SQ } { SB }=x $.
Có $ \frac { V_{ S.MNQ } } { V_{ S.ADB } }=\frac { SM } { SA }.\frac { SN } { SD }.\frac { SQ } { SB }=\frac { 2 } { 3 }.\frac { 2 } { 3 }.x=\frac { 4x } { 9 }\Rightarrow V_{ S.MNQ } =\frac { 4x } { 9 }V_{ S.ADB } =\frac { 4x } { 9 }.\frac { V } { 2 }=\frac { 2x } { 9 }V $.
Đồng thời $ \frac { V_{ S.PNQ } } { V_{ S.CDB } }=\frac { SP } { SC }.\frac { SN } { SD }.\frac { SQ } { SB }=x.\frac { 2 } { 3 }.x=\frac { 2x ^ { 2 } } { 3 }\Rightarrow V_{ S.PNQ } =\frac { 2x ^ { 2 } } { 3 }V_{ S.CDB } =\frac { 2x ^ { 2 } } { 3 }.\frac { V } { 2 }=\frac { x ^ { 2 } } { 3 }V $.
Như vậy $ V_{ 1 } =\left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 3 }+\frac { 2x } { 9 } } \right )V $. Mà theo giả thiết ta có $ V_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }V $ nên ta suy ra:
$ \frac { x ^ { 2 } } { 3 }+\frac { 2x } { 9 }=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow \left[ x=\frac { -2+\sqrt[] { 58 } } { 6 }{ \rm{ } }\left ( { Nhan } \right ) \\ x=\frac { -2-\sqrt[] { 58 } } { 6 }{ \rm{ } }\left ( { Loai } \right ) \right. $. Vậy $ x=\frac { -2+\sqrt[] { 58 } } { 6 } $.
Cách 2.
Đặt $ a=\frac { SM } { SA }=\frac { 2 } { 3 };{ \rm{ } }b=\frac { SN } { SD }=\frac { 2 } { 3 };{ \rm{ } }c=\frac { SP } { SC } $. Ta có $ \frac { 1 } { a }+\frac { 1 } { c }=\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { x }\Rightarrow c=x $.
Lại có $ \frac { V_{ 1 } } { V }=\frac { abcx } { 4 }\left ( { \frac { 1 } { a }+\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }+\frac { 1 } { x } } \right )=\frac { x ^ { 2 } } { 9 }\left ( { 3+\frac { 2 } { x } } \right ) $.
Mà $ \frac { V_{ 1 } } { V }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow 6x ^ { 3 } +4x ^ { 2 } -9x=0\Leftrightarrow \left[ x=0{ \rm{ } }\left ( { Loai } \right ) \\ x=\frac { -2+\sqrt[] { 58 } } { 6 }{ \rm{ } }\left ( { Nhan } \right ) \\ x=\frac { -2-\sqrt[] { 58 } } { 6 }{ \rm{ } }\left ( { Loai } \right ) \right. $.
Vậy $ x=\frac { -2+\sqrt[] { 58 } } { 6 } $.