Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 23
Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu $K,P$ để sản xuất ít nhất 72 kg sản phẩm loại I và 80 kg sản phẩm loại II. Từ mỗi tấn nguyên liệu $K$ giá 4 triệu đồng, có thể sản xuất được 24 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II. Từ mỗi tấn nguyên liệu $P$ giá 3 triệu đồng, có thể sản xuất được 36 kg sản phẩm loại I và 20 kg sản phẩm loại II. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x,y$ lần lượt là số tấn nguyên liệu $K,P$ sử dụng.
Khi đó, ta sản xuất được $24x+36y$ kg sản phẩm loại I và $40x+20y$ kg sản phẩm loại II. Theo giả thiết, $x$ và $y$ phải thoả mãn các điều kiện:
$x\geq 0,y\geq 0$
$24x+36y\geq 72$ hay $2x+3y\geq 6$
$40x+20y\geq 80$ hay $2x+y\geq 4$
Tổng số tiền cần mua nguyên liệu là $T=4x+3y$.
Bài toán đưa về: Tìm $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 2x+3y\geq 6 \\ 2x+y\geq 4 \end{array} \right.\quad (V)$
sao cho $T=4x+3y$ có giá trị nhỏ nhất.
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $(V)$.
Miền nghiệm $(S)$ của hệ bất phương trình $(V)$ là hình phẳng giới hạn bởi tia $Ay$, các cạnh $AB$ và $BC$, tia $Cx$ kể cả biên với $A(0;4),B\left(\frac{3}{2};1\right),C(3;0)$.
Bước 2. Tính giá trị của biểu thức
$T(x,y)=4x+3y$ tại các "đỉnh" $A(0;4),B\left(\frac{3}{2};1\right),C(3;0)$ của miền nghiệm $(S)$: $T(0,4)=12$; $T\left(\frac{3}{2},1\right)=9$; $T(3,0)=12$.
Bước 3. Ta thừa nhận biểu thức $T=4x+3y$ có giá trị nhỏ nhất tại một trong các "đỉnh" $A(0;4),B\left(\frac{3}{2};1\right),C(3;0)$ của miền nghiệm $(S)$. So sánh ba giá trị thu được của $T$ ở Bước 2, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm là $T\left(\frac{3}{2},1\right)=9$.
Vậy để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất, cần dùng $\frac{3}{2}$ tấn nguyên liệu $K$, $1$ tấn nguyên liệu $P$ và khi đó chi phí là 9 triệu đồng.
