Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 26

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên
$OA=OB=OC=OD$, suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ nên $O$ là chân đường cao của khối chóp $S.ABCD$.
Khi đó, chiều cao của khối chóp $S.ABCD$ bằng $SO$.
Trong hình vuông $ABCD$, ta có:
$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có:
$SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$
Vậy chiều cao của khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
b) Vì $SO\perp(ABCD)$ nên $OA$ là hình chiếu của $SA$ trên $(ABCD)$. Khi đó góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\widehat{SAO}$.
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có: $\cos\widehat{SAO}=\frac{AO}{SA}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $\widehat{SAO}=30^{\circ}$. Vậy góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{\circ}$.
c) Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $CD$. Vì $OCD$ là tam giác vuông cân tại $O$ nên $H$ là trung điểm $CD$. Mà tam giác $SCD$ cân tại $S$ nên $SH\perp CD$.
Suy ra $\widehat{SHO}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[S,CD,B]$.
Xét tam giác $DBC$ có $OH$ là đường trung bình nên $OH=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$.
Xét tam giác $SOH$ vuông tại $O$ có:
$SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{15}}{6}$. Suy ra $\cos\widehat{SHO}=\frac{OH}{SH}=\frac{a}{2}:\frac{a\sqrt{15}}{6}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.
Vậy côsin của số đo góc nhị diện $[S,CD,B]$ bằng $\frac{\sqrt{15}}{5}$.
d) Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $SD$. Vì $AC\perp BD, AC\perp SO$ và $BD, SO$ cắt nhau trong mặt phẳng $(SBD)$ nên $AC\perp(SBD)$. Mà $SD\subset(SBD)$ nên $AC\perp SD$.
Ngoài ra, $SD\perp AK$ và $AK, AC$ cắt nhau trong mặt phẳng $(ACK)$ nên $SD\perp(ACK)$.
Mà $CK\subset(ACK)$ nên $SD\perp CK$.
Từ đó ta có $\widehat{AKC}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[A,SD,C]$.
Xét tam giác $SCD$ có: $KC=\frac{SH\cdot CD}{SD}=\frac{\frac{a\sqrt{15}}{6}\cdot a}{\frac{a\sqrt{6}}{3}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}\cdot\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}$.
Tương tự ta có: $KA=\frac{a\sqrt{10}}{4}$. Xét tam giác $AKC$, ta có:
$\cos\widehat{AKC}=\frac{KA^2+KC^2-AC^2}{2KA\cdot KC}=\frac{\left(\frac{a\sqrt{10}}{4}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{10}}{4}\right)^2-(a\sqrt{2})^2}{2\cdot\frac{a\sqrt{10}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{10}}{4}}=-\frac{3}{5}$
Vậy côsin của số đo góc nhị diện $[A,SD,C]$ bằng $-\frac{3}{5}$.