Bài tập nâng cao · Bài 7
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 7
Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{mx^{3}}{3}-\frac{mx^{2}}{2}+\left( 3-m \right)x-2$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để $f'\left( x \right)\geq 0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$ là
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có $f'\left( x \right)=mx^{2}-mx+\left( 3-m \right)$.
Nếu $m=0$ ta có $f'\left( x \right)=3\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Suy ra $m=0$ thỏa mãn ycbt.
Nếu $m\neq 0$ ta có $f'\left( x \right)\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ \Delta =m^{2}-4m\left( 3-m \right)\leq 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ \Delta =5m^{2}-12m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow 0 < m\leq \frac{12}{5}$.
Kết hợp cả hai trường hợp ta được $m\in \left[ 0;\frac{12}{5} \right]$. Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$. Vậy có ba giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn ycbt.
Ta có $f'\left( x \right)=mx^{2}-mx+\left( 3-m \right)$.
Nếu $m=0$ ta có $f'\left( x \right)=3\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Suy ra $m=0$ thỏa mãn ycbt.
Nếu $m\neq 0$ ta có $f'\left( x \right)\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ \Delta =m^{2}-4m\left( 3-m \right)\leq 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ \Delta =5m^{2}-12m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow 0 < m\leq \frac{12}{5}$.
Kết hợp cả hai trường hợp ta được $m\in \left[ 0;\frac{12}{5} \right]$. Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$. Vậy có ba giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn ycbt.