Bài tự luận · Bài 30
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 30
Trong không gian, vệ tinh Alpha truyền lần lượt từng tín hiệu đến vệ tinh Beta. Biết rằng mỗi lần vệ tinh Alpha truyền tín hiệu, xác suất vệ tinh Beta nhận được thành công tín hiệu đó đều bằng 0,95. Giả sử vệ tinh Alpha truyền 10 tín hiệu đến vệ tinh Beta một cách độc lập. Tính xác suất của các biến cố sau:
$ C $: "Vệ tinh Beta nhận được thành công 8 tín hiệu";
$ D $: "Vệ tinh Beta nhận được thành công ít nhất 9 tín hiệu".
(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)
$ C $: "Vệ tinh Beta nhận được thành công 8 tín hiệu";
$ D $: "Vệ tinh Beta nhận được thành công ít nhất 9 tín hiệu".
(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ T $ là phép thử "Vệ tinh Alpha truyền 1 tín hiệu đến vệ tinh Beta". Theo đề bài, phép thử $ T $ được lặp 10 lần một cách độc lập. Gọi $ A $ là biến cố "Vệ tinh Beta nhận thành công tín hiệu từ vệ tinh Alpha". Ta có $ P(A)=0,95 $.
Gọi $ A_{ k } $ là biến cố "Vệ tinh Beta nhận thành công $ k $ tín hiệu trong 10 tín hiệu", với $ k=0,1,\ldots,10 $. Áp dụng công thức Bernoulli, ta có
$ P\left ( { A_{ k } } \right )=C_{ 10 } ^{ k }\cdot 0,95 ^ { k } .(1-0,95) ^ { 10-k } { \rm{ , } }{ \rm{ } }k=0,1,\ldots,10. $
Do đó, $ P(C)=P\left ( { A_{ 8 } } \right )=C_{ 10 } ^{ 8 }\cdot 0,95 ^ { 8 } \cdot 0,05 ^ { 2 } \approx 0,07. $
Vì $ D=A_{ 9 } \cup A_{ 10 } $ với $ A_{ 9 } \cap A_{ 10 } =∅ $ nên
$ P(D)=P\left ( { A_{ 9 } } \right )+P\left ( { A_{ 10 } } \right )=C_{ 10 } ^{ 9 }\cdot 0,95 ^ { 9 } \cdot 0,05 ^ { 1 } +C_{ 10 } ^{ 10 }\cdot 0,95 ^ { 10 } \cdot 0,05 ^ { 0 } =1,45\cdot 0,95 ^ { 9 } \approx 0,91. $
Gọi $ A_{ k } $ là biến cố "Vệ tinh Beta nhận thành công $ k $ tín hiệu trong 10 tín hiệu", với $ k=0,1,\ldots,10 $. Áp dụng công thức Bernoulli, ta có
$ P\left ( { A_{ k } } \right )=C_{ 10 } ^{ k }\cdot 0,95 ^ { k } .(1-0,95) ^ { 10-k } { \rm{ , } }{ \rm{ } }k=0,1,\ldots,10. $
Do đó, $ P(C)=P\left ( { A_{ 8 } } \right )=C_{ 10 } ^{ 8 }\cdot 0,95 ^ { 8 } \cdot 0,05 ^ { 2 } \approx 0,07. $
Vì $ D=A_{ 9 } \cup A_{ 10 } $ với $ A_{ 9 } \cap A_{ 10 } =∅ $ nên
$ P(D)=P\left ( { A_{ 9 } } \right )+P\left ( { A_{ 10 } } \right )=C_{ 10 } ^{ 9 }\cdot 0,95 ^ { 9 } \cdot 0,05 ^ { 1 } +C_{ 10 } ^{ 10 }\cdot 0,95 ^ { 10 } \cdot 0,05 ^ { 0 } =1,45\cdot 0,95 ^ { 9 } \approx 0,91. $