Bài tự luận · Bài 30
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 30
Trong một chiếc hộp có 10 quả cầu có kích thước và khối lượng giống nhau, trong đó có 4 quả ghi số $ 1;3 $ quả ghi số $ 2;2 $ quả ghi số 3 và 1 quả ghi số 4. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu rồi cộng hai số trên hai quả cầu với nhau. Gọi $ X $ là kết quả thu được. Lập bảng phân bố xác suất của $ X $.
Xem lời giải
Lời giải
Kí hiệu $ A_{ ij } $ là biến cố: "Chọn được quả cầu ghi số $ i $ và quả cầu ghi số $ j $ ".
$ P(X=2)=P\left ( { A_{ 11 } } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 2 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 6 } { 45 } \\ P(X=3)=P\left ( { A_{ 12 } } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 3 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 12 } { 45 } \\ P(X=4)=P\left ( { A_{ 13 } } \right )+P\left ( { A_{ 22 } } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 2 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 11 } { 45 } \\ P(X=5)=P\left ( { A_{ 14 } } \right )+P\left ( { A_{ 23 } } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 1 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 3 } ^{ 1 }C_{ 2 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 10 } { 45 } \\ P(X=6)=P\left ( { A_{ 33 } } \right )+P\left ( { A_{ 24 } } \right )=\frac { C_{ 2 } ^{ 2 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 3 } ^{ 1 }C_{ 1 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 4 } { 45 } \\ P(X=7)=P\left ( { A_{ 34 } } \right )=\frac { C_{ 2 } ^{ 1 }C_{ 1 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 2 } { 45 } $
Vậy bảng phân bố xác suất của $ X $ là:
$ X $ 2 3 4 5 6 7
$ P $ $ \frac { 6 } { 45 } $ $ \frac { 12 } { 45 } $ $ \frac { 11 } { 45 } $ $ \frac { 10 } { 45 } $ $ \frac { 4 } { 45 } $ $ \frac { 2 } { 45 } $
$ P(X=2)=P\left ( { A_{ 11 } } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 2 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 6 } { 45 } \\ P(X=3)=P\left ( { A_{ 12 } } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 3 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 12 } { 45 } \\ P(X=4)=P\left ( { A_{ 13 } } \right )+P\left ( { A_{ 22 } } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 2 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 11 } { 45 } \\ P(X=5)=P\left ( { A_{ 14 } } \right )+P\left ( { A_{ 23 } } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 1 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 3 } ^{ 1 }C_{ 2 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 10 } { 45 } \\ P(X=6)=P\left ( { A_{ 33 } } \right )+P\left ( { A_{ 24 } } \right )=\frac { C_{ 2 } ^{ 2 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 3 } ^{ 1 }C_{ 1 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 4 } { 45 } \\ P(X=7)=P\left ( { A_{ 34 } } \right )=\frac { C_{ 2 } ^{ 1 }C_{ 1 } ^{ 1 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 2 } { 45 } $
Vậy bảng phân bố xác suất của $ X $ là:
$ X $ 2 3 4 5 6 7
$ P $ $ \frac { 6 } { 45 } $ $ \frac { 12 } { 45 } $ $ \frac { 11 } { 45 } $ $ \frac { 10 } { 45 } $ $ \frac { 4 } { 45 } $ $ \frac { 2 } { 45 } $