Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 29
Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi nhất (tức là, có góc nhìn $\theta$ lớn nhất)?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $BD=x$, ta có $AC=\sqrt{x^2+9}$. Khi đó $\sin D=\frac{x}{\sqrt{x^2+49}}$.
Xét tam giác $ACD$, ta có
$\frac{AC}{\sin D}=\frac{CD}{\sin\widehat{DAC}}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x^2+9}}{\frac{x}{\sqrt{x^2+49}}}=\frac{4}{\sin\widehat{DAC}}\Leftrightarrow\sin\widehat{DAC}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+9}\cdot\sqrt{x^2+49}}$.
Để có được tầm nhìn thuận lợi thì góc nhìn $\theta$ phải lớn nhất.
Xét hàm số
$y=\frac{4x}{\sqrt{x^2+9}\cdot\sqrt{x^2+49}}=\frac{4x}{\sqrt{(x^2+9)(x^2+49)}}=\frac{4x}{\sqrt{x^4+58x^2+441}}$, $x>0$.
Ta có $y'=\frac{-4x^4+1764}{(x^4+58x^2+441)\sqrt{x^4+58x^2+441}}=0\Leftrightarrow x=\sqrt{21}\approx4,58$.
Vậy người đó phải đứng cách tường khoảng 4,58 m thì tầm nhìn là thuận lợi nhất.
