Bài tự luận · Bài 8
Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 8
Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ biết $ u_{ n } =cos\left[ (2n+1)\frac { \pi } { 6 } \right] $.
a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng $ u_{ n+6 } =u_{ n } $ với mọi $ n\geq 1 $.
c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.
a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng $ u_{ n+6 } =u_{ n } $ với mọi $ n\geq 1 $.
c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.
Xem lời giải
Lời giải
a) Sáu số hạng đầu của dãy số là: $ 0;-\frac { \sqrt { 3 } } { 2 };-\frac { \sqrt { 3 } } { 2 };0;\frac { \sqrt { 3 } } { 2 };\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $.
b) Ta có:
$ u_{ n+6 } =cos\left[ (2n+13)\frac { \pi } { 6 } \right]=cos\left[ (2n+1)\frac { \pi } { 6 }+2\pi \right]=cos\left[ (2n+1)\frac { \pi } { 6 } \right]=u_{ n } $ với $ n\geq 1 $.
c) Vì $ u_{ n } =u_{ n+6 } $ với $ n\geq 1 $ nên
$ u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } +\ldots +u_{ 27 } =4\cdot \left ( { u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } +u_{ 4 } +u_{ 5 } +u_{ 6 } } \right )+u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } $ $ =4\cdot \left[ 0+\left ( { -\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right )+\left ( { -\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right )+0+\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }+\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right]+0+\left ( { -\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right )+\left ( { -\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right )=-\sqrt { 3 } $.
b) Ta có:
$ u_{ n+6 } =cos\left[ (2n+13)\frac { \pi } { 6 } \right]=cos\left[ (2n+1)\frac { \pi } { 6 }+2\pi \right]=cos\left[ (2n+1)\frac { \pi } { 6 } \right]=u_{ n } $ với $ n\geq 1 $.
c) Vì $ u_{ n } =u_{ n+6 } $ với $ n\geq 1 $ nên
$ u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } +\ldots +u_{ 27 } =4\cdot \left ( { u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } +u_{ 4 } +u_{ 5 } +u_{ 6 } } \right )+u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } $ $ =4\cdot \left[ 0+\left ( { -\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right )+\left ( { -\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right )+0+\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }+\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right]+0+\left ( { -\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right )+\left ( { -\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right )=-\sqrt { 3 } $.