Bài tập nâng cao · Bài 58
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 58
Số cách xếp $10$ học sinh gồm $2$ học sinh lớp 12A, $3$ học sinh lớp 12B và $5$ học sinh lớp 12C thành một hàng ngang sao cho trong $10$ học sinh trên không có $2$ học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau là:
Xem lời giải
Lời giải
Sắp xếp $5$ học sinh lớp 12C vào $5$ vị trí, có $5!$ cách.
Ứng mỗi cách xếp $5$ học sinh lớp 12C sẽ có $6$ khoảng trống gồm $4$ vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại.
TH1: Có đúng 4 học sinh 12A và 12B xen giữa 5 học sinh 12C còn 1 học sinh ở một trong 2 đầu:
- Chọn 1 học sinh từ 5 học sinh xếp vào 1 trong 2 đầu: $5\cdot2$ cách;
- Xếp 4 học sinh còn lại vào 4 vị trí xen giữa: $4!$ cách.
TH2: Cả 5 học sinh 12A và 12B xếp vào 4 vị trí xen giữa 5 học sinh 12C nên có 1 vị trí xen giữa phải xếp 2 học sinh của 2 lớp 12A và 12B:
Chọn 1 học sinh lớp A: 2 cách, 1 học sinh lớp B: 3 cách; Xếp 2 học sinh này vào 1 trong 4 vị trí xen giữa 5 học sinh lớp C: $4\cdot2=8$ cách; Xếp 3 học sinh còn lại vài 3 vị trí trống còn lại: $3!$ cách.
Vậy có $5!\left(5\cdot2\cdot4!+2\cdot3\cdot8\cdot3!\right)=120(240+288)=63360$.
Ứng mỗi cách xếp $5$ học sinh lớp 12C sẽ có $6$ khoảng trống gồm $4$ vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại.
TH1: Có đúng 4 học sinh 12A và 12B xen giữa 5 học sinh 12C còn 1 học sinh ở một trong 2 đầu:
- Chọn 1 học sinh từ 5 học sinh xếp vào 1 trong 2 đầu: $5\cdot2$ cách;
- Xếp 4 học sinh còn lại vào 4 vị trí xen giữa: $4!$ cách.
TH2: Cả 5 học sinh 12A và 12B xếp vào 4 vị trí xen giữa 5 học sinh 12C nên có 1 vị trí xen giữa phải xếp 2 học sinh của 2 lớp 12A và 12B:
Chọn 1 học sinh lớp A: 2 cách, 1 học sinh lớp B: 3 cách; Xếp 2 học sinh này vào 1 trong 4 vị trí xen giữa 5 học sinh lớp C: $4\cdot2=8$ cách; Xếp 3 học sinh còn lại vài 3 vị trí trống còn lại: $3!$ cách.
Vậy có $5!\left(5\cdot2\cdot4!+2\cdot3\cdot8\cdot3!\right)=120(240+288)=63360$.