Bài tập nâng cao · Bài 57
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 57
Cho tam giác đều $ABC$. Trên mỗi cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lấy 9 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với các đỉnh $A$, $B$, $C$. Hỏi từ 30 điểm đã cho (tính cả các đỉnh $A$, $B$, $C$) lập được bao nhiêu tam giác?
Xem lời giải
Lời giải
Để lập được một tam giác ta cần chọn ra 3 điểm không thẳng hàng. Do đó số tam giác lập được chính là số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng.
Chọn 3 điểm bất kì trong 30 điểm đã cho (tính cả các đỉnh $A$, $B$, $C$) có $C_{30}^3$ cách.
Chọn 3 điểm thẳng hàng trong 11 điểm trên một cạnh có $C_{11}^3$ cách.
Do có ba cạnh nên ta sẽ có số cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng là $3\cdot C_{11}^3$ cách.
Do đó, số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng là $C_{30}^3-3\cdot C_{11}^3=3565$ cách.
Chọn 3 điểm bất kì trong 30 điểm đã cho (tính cả các đỉnh $A$, $B$, $C$) có $C_{30}^3$ cách.
Chọn 3 điểm thẳng hàng trong 11 điểm trên một cạnh có $C_{11}^3$ cách.
Do có ba cạnh nên ta sẽ có số cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng là $3\cdot C_{11}^3$ cách.
Do đó, số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng là $C_{30}^3-3\cdot C_{11}^3=3565$ cách.