Bài tập nâng cao · Bài 56
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 56
Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm $9$ chữ số từ các chữ số $1,2,4,6,7,8,9$ trong đó các chữ số $6$ và $8$ có mặt hai lần, còn các chữ số khác thì chỉ có mặt một lần?
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1: Gọi số cần tìm có dạng $abcdefghi$.
Chọn $2$ vị trí trong $9$ vị trí để xếp chữ số $6$: có $C_9^2=36$ cách.
Chọn $2$ vị trí trong $7$ vị trí còn lại để xếp chữ số $8$: có $C_7^2=21$ cách.
Vì vậy còn 5 vị trí để xếp 5 chữ số còn lại có $5!=120$ cách.
Như vậy có $36\cdot21\cdot120=90720$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2: Sắp xếp $1,2,4,6,6,7,8,8,9$ thành một dãy, có $\dfrac{9!}{2\cdot2}=90\,720$ (cách). Suy ra có $90\,720$ số tự nhiên cần lập.
Chọn $2$ vị trí trong $9$ vị trí để xếp chữ số $6$: có $C_9^2=36$ cách.
Chọn $2$ vị trí trong $7$ vị trí còn lại để xếp chữ số $8$: có $C_7^2=21$ cách.
Vì vậy còn 5 vị trí để xếp 5 chữ số còn lại có $5!=120$ cách.
Như vậy có $36\cdot21\cdot120=90720$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2: Sắp xếp $1,2,4,6,6,7,8,8,9$ thành một dãy, có $\dfrac{9!}{2\cdot2}=90\,720$ (cách). Suy ra có $90\,720$ số tự nhiên cần lập.