Bài tập nâng cao · Bài 47
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 47
Tính tổng
$S=2.C_{2021}^2+3.2.9.C_{2021}^3+4.3.9^2.C_{2021}^4+....+2019.2020.9^{2018}C_{2021}^{2020}+2020.2021.9^{2019}.C_{2021}^{2021}$
$S=2.C_{2021}^2+3.2.9.C_{2021}^3+4.3.9^2.C_{2021}^4+....+2019.2020.9^{2018}C_{2021}^{2020}+2020.2021.9^{2019}.C_{2021}^{2021}$
Xem lời giải
Lời giải
Với $n$ là số nguyên dương, xét hàm số $f(x)=\left( 1+x \right)^n$
$f'(x)=n.(1+x)^{n-1}$, $f''(x)=n.(n-1)(1+x)^{n-2}$
Mặt khác
$f(x)=C_n^0+C_n^1.x+C_n^2x^2+...+C_n^{n-2}x^{n-2}+C_n^{n-1}x^{n-1}+C_n^nx^n$
$f'(x)=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+...+(n-2)C_n^{n-2}x^{n-3}+(n-1)C_n^{n-1}x^{n-2}+nC_n^nx^{n-1}$
$f''(x)=2C_n^2+3.2C_n^3x+...+(n-2).(n-3)C_n^{n-2}x^{n-4}+(n-1).(n-2)C_n^{n-1}x^{n-3}+n.(n-1)C_n^nx^{n-2}$
Thay $n=2021$, $x=9$ vào biểu thức $f''(x)$
$\begin{array}{l} S=2.C_{2021}^2+3.2.9.C_{2021}^3+4.3.9^2.C_{2021}^4+....+2019.2020.9^{2018}C_{2021}^{2020}+2020.2021.9^{2019}.C_{2021}^{2021} \\ \,\,\,\,=2020.2021.10^{2019} \end{array}$
$f'(x)=n.(1+x)^{n-1}$, $f''(x)=n.(n-1)(1+x)^{n-2}$
Mặt khác
$f(x)=C_n^0+C_n^1.x+C_n^2x^2+...+C_n^{n-2}x^{n-2}+C_n^{n-1}x^{n-1}+C_n^nx^n$
$f'(x)=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+...+(n-2)C_n^{n-2}x^{n-3}+(n-1)C_n^{n-1}x^{n-2}+nC_n^nx^{n-1}$
$f''(x)=2C_n^2+3.2C_n^3x+...+(n-2).(n-3)C_n^{n-2}x^{n-4}+(n-1).(n-2)C_n^{n-1}x^{n-3}+n.(n-1)C_n^nx^{n-2}$
Thay $n=2021$, $x=9$ vào biểu thức $f''(x)$
$\begin{array}{l} S=2.C_{2021}^2+3.2.9.C_{2021}^3+4.3.9^2.C_{2021}^4+....+2019.2020.9^{2018}C_{2021}^{2020}+2020.2021.9^{2019}.C_{2021}^{2021} \\ \,\,\,\,=2020.2021.10^{2019} \end{array}$