Bài tập nâng cao · Bài 46
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 46
Cho$n\in \mathbb{N}^*;\ C_n^4C_n^{n-4}+C_n^6C_n^{n-6}=2C_n^4C_n^{n-6}$. Tính $T=1^2.3.C_n^1+2^2.3^2.C_n^2+...+n^2.3^n.C_n^n$ ?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $C_n^4C_n^{n-4}+C_n^6C_n^{n-6}=2C_n^4C_n^{n-6}$ $\Leftrightarrow C_n^4C_n^{n-4}+C_n^6C_n^{n-6}-2C_n^4C_n^{n-6}=0$
$\Leftrightarrow C_n^{n-4}C_n^{n-4}+C_n^{n-6}C_n^{n-6}-2C_n^{n-4}C_n^{n-6}=0$
$\Leftrightarrow \left( C_n^{n-4}-C_n^{n-6} \right)^2=0$ $\Leftrightarrow C_n^{n-4}=C_n^{n-6}\Leftrightarrow n=10$.
Ta có $\left( 1+3x \right)^n=C_n^0+C_n^13x+C_n^23^2x^2+...+C_n^n3^nx^n$.
Đạo hàm hai vế ta được: $3n\left( 1+3x \right)^{n-1}=3C_n^1+2.3^2C_n^2x+...+n.3^nC_n^nx^{n-1}$.
$\Rightarrow 3nx\left( 1+3x \right)^{n-1}=3C_n^1x+2.3^2C_n^2x^2+...+n.3^nC_n^nx^n$.
Đạo hàm 2 vế ta được: $3n\left[ \left( \left( 1+3x \right)^{n-1} \right)+3x\left( n-1 \right)\left( 1+3x \right)^{n-2} \right]=3.C_n^1+2^2.3^2.C_n^2x+...+n^2.3^n.C_n^nx^{n-1}$.
Thay $x=1$ vào 2 vế : $3n\left[ 4^{n-1}+3\left( n-1 \right)4^{n-2} \right]=3.C_n^1+2^2.3^2C_n^2+...+n^2.3^n.C_n^n$.
Với $n=10,\ T=1^2.3.C_n^1+2^2.3^2.C_n^2+...+n^2.3^n.C_n^n=3n\left[ 4^{n-1}+3\left( n-1 \right)4^{n-2} \right]$.
$T=30\left( 4^9+27.4^8 \right)=30\left( 4.4^8+27.4^8 \right)=930.4^8$.
$\Leftrightarrow C_n^{n-4}C_n^{n-4}+C_n^{n-6}C_n^{n-6}-2C_n^{n-4}C_n^{n-6}=0$
$\Leftrightarrow \left( C_n^{n-4}-C_n^{n-6} \right)^2=0$ $\Leftrightarrow C_n^{n-4}=C_n^{n-6}\Leftrightarrow n=10$.
Ta có $\left( 1+3x \right)^n=C_n^0+C_n^13x+C_n^23^2x^2+...+C_n^n3^nx^n$.
Đạo hàm hai vế ta được: $3n\left( 1+3x \right)^{n-1}=3C_n^1+2.3^2C_n^2x+...+n.3^nC_n^nx^{n-1}$.
$\Rightarrow 3nx\left( 1+3x \right)^{n-1}=3C_n^1x+2.3^2C_n^2x^2+...+n.3^nC_n^nx^n$.
Đạo hàm 2 vế ta được: $3n\left[ \left( \left( 1+3x \right)^{n-1} \right)+3x\left( n-1 \right)\left( 1+3x \right)^{n-2} \right]=3.C_n^1+2^2.3^2.C_n^2x+...+n^2.3^n.C_n^nx^{n-1}$.
Thay $x=1$ vào 2 vế : $3n\left[ 4^{n-1}+3\left( n-1 \right)4^{n-2} \right]=3.C_n^1+2^2.3^2C_n^2+...+n^2.3^n.C_n^n$.
Với $n=10,\ T=1^2.3.C_n^1+2^2.3^2.C_n^2+...+n^2.3^n.C_n^n=3n\left[ 4^{n-1}+3\left( n-1 \right)4^{n-2} \right]$.
$T=30\left( 4^9+27.4^8 \right)=30\left( 4.4^8+27.4^8 \right)=930.4^8$.