Bài tập nâng cao · Bài 45
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 45
Cho hàm số $y=\sin x-\frac{1}{2}x+2020$. Phương trình $y'=0$ có bao nhiêu nghiệm trên $\left( -\frac{\pi}{2};\pi \right)$
Xem lời giải
Lời giải
$y'=\cos x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{3}+k2\pi \\ x=\frac{-\pi}{3}+l2\pi \end{array} \right.,(k,l\in \mathbb{Z})$ (1)
Mà $\frac{-\pi}{2} < x < \pi$ nên $\left[ \begin{array}{l} \frac{-\pi}{2} < \frac{\pi}{3}+k2\pi < \pi \\ \frac{-\pi}{2} < \frac{-\pi}{3}+l2\pi < \pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{-5\pi}{6} < k2\pi < \frac{2\pi}{3} \\ \frac{-\pi}{6} < l2\pi < \frac{4\pi}{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{-5}{12} < k < \frac{1}{3} \\ \frac{-1}{12} < l < \frac{2}{3} \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} k=0 \\ l=0 \end{array} \right.$
Thay vào (1) ta được: $x=\pm \frac{\pi}{3}$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{3}+k2\pi \\ x=\frac{-\pi}{3}+l2\pi \end{array} \right.,(k,l\in \mathbb{Z})$ (1)
Mà $\frac{-\pi}{2} < x < \pi$ nên $\left[ \begin{array}{l} \frac{-\pi}{2} < \frac{\pi}{3}+k2\pi < \pi \\ \frac{-\pi}{2} < \frac{-\pi}{3}+l2\pi < \pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{-5\pi}{6} < k2\pi < \frac{2\pi}{3} \\ \frac{-\pi}{6} < l2\pi < \frac{4\pi}{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{-5}{12} < k < \frac{1}{3} \\ \frac{-1}{12} < l < \frac{2}{3} \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} k=0 \\ l=0 \end{array} \right.$
Thay vào (1) ta được: $x=\pm \frac{\pi}{3}$.