Bài tập nâng cao · Bài 14
DẠNG 2. PHÂN TÍCH VÉC-TƠ Sử dụng các tính chất phép toán véc-tơ, ba quy tắc phép toán véc-tơ và tính chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác.
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 14
Một đường thẳng cắt cạnh $DA, DC$ và đường chéo $DB$ của hình bình hành $ABCD$ lần lượt tại các điểm $E, F$ và $M$. Biết rằng $\overrightarrow{DE}=m\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{DF}=n\overrightarrow{DC}$ $(m,n>0)$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{DM}$ qua $\overrightarrow{DB}$ và $m,n$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $\overrightarrow{DM}=x\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{EM}=y\overrightarrow{FM}$ thì $\overrightarrow{DM}=x\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DC}$.
Do đó $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DE}=x\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DC}-m\overrightarrow{DA}=(x-m)\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DC}$.
Và $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DF}=x\overrightarrow{DA}+(x-n)\overrightarrow{DC}$.
Ta có $\overrightarrow{EM}=y\overrightarrow{FM} \Leftrightarrow (x-m)\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DC}=xy\overrightarrow{DA}+y(x-n)\overrightarrow{DC}$.
Do $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DC}$ không cùng phương nên $\left\{ \begin{array}{l} x-m=xy \\ x=y(x-n)=xy-yn \end{array} \right.$.
Giải hệ trên ta được $y=-\frac{m}{n}$ và $x=\frac{mn}{m+n}$.
Vậy $\overrightarrow{DM}=\frac{mn}{m+n}\overrightarrow{DB}$.
Do đó $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DE}=x\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DC}-m\overrightarrow{DA}=(x-m)\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DC}$.
Và $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DF}=x\overrightarrow{DA}+(x-n)\overrightarrow{DC}$.
Ta có $\overrightarrow{EM}=y\overrightarrow{FM} \Leftrightarrow (x-m)\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DC}=xy\overrightarrow{DA}+y(x-n)\overrightarrow{DC}$.
Do $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DC}$ không cùng phương nên $\left\{ \begin{array}{l} x-m=xy \\ x=y(x-n)=xy-yn \end{array} \right.$.
Giải hệ trên ta được $y=-\frac{m}{n}$ và $x=\frac{mn}{m+n}$.
Vậy $\overrightarrow{DM}=\frac{mn}{m+n}\overrightarrow{DB}$.