Bài tập nâng cao · Bài 29
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 29
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm $7$ chữ số khác nhau có dạng $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7}$. Tính xác suất để số được chọn luôn có mặt chữ số $3$ và thỏa mãn $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} >a_{5} >a_{6} >a_{7}$.
Xem lời giải
Lời giải
Không gian mẫu của việc lập ra số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau là: $A_{10} ^{7}-A_{9} ^{6}$.
Để số lập được thỏa mãn đề bài ta có cách chọn $a_{4}$ như sau:
TH1: $a_{4} =6$, ta có $C_{5} ^{3}$ cách chọn 3 số đứng trước $a_{4}$, còn lại có $C_{3} ^{3}$ cách chọn 3 số đứng sau $a_{4}$ mà mỗi cách chọn bộ số đứng trước và đứng sau $a_{4}$ chỉ có một cách sắp thứ tự thỏa mãn đề bài. Vậy số lập được trong trường hợp này là: $C_{5} ^{3}.C_{3} ^{3}$.
TH2: $a_{4} =7$ *) Nếu số 3 đứng trước $a_{4}$ có $C_{5} ^{2}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{4} ^{3}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{5} ^{2}.C_{4} ^{3}=40$.
*) Nếu số 3 đứng sau $a_{4}$ có $C_{5} ^{3}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{3} ^{2}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{5} ^{3}.C_{3} ^{2}=30$.
TH3: $a_{4} =8$ *) Nếu số 3 đứng trước $a_{4}$ có $C_{6} ^{2}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{5} ^{3}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{6} ^{2}.C_{5} ^{3}=150$.
*) Nếu số 3 đứng sau $a_{4}$ có $C_{6} ^{3}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{4} ^{2}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{6} ^{3}.C_{4} ^{2}=120$.
TH4: $a_{4} =9$ *) Nếu số 3 đứng trước $a_{4}$ có $C_{7} ^{2}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{6} ^{3}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{7} ^{2}.C_{6} ^{3}=420$.
*) Nếu số 3 đứng sau $a_{4}$ có $C_{7} ^{3}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{5} ^{2}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{7} ^{3}.C_{5} ^{2}=350$.
Vậy số phần tử của biến cố $A$: “ số được chọn luôn có mặt chữ số $3$ và thỏa mãn $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} >a_{5} >a_{6} >a_{7}$.”
Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\frac { 10+40+30+150+120+420+350 } { A_{10} ^{7}-A_{9} ^{6} }=\frac{1}{486}$.
Để số lập được thỏa mãn đề bài ta có cách chọn $a_{4}$ như sau:
TH1: $a_{4} =6$, ta có $C_{5} ^{3}$ cách chọn 3 số đứng trước $a_{4}$, còn lại có $C_{3} ^{3}$ cách chọn 3 số đứng sau $a_{4}$ mà mỗi cách chọn bộ số đứng trước và đứng sau $a_{4}$ chỉ có một cách sắp thứ tự thỏa mãn đề bài. Vậy số lập được trong trường hợp này là: $C_{5} ^{3}.C_{3} ^{3}$.
TH2: $a_{4} =7$ *) Nếu số 3 đứng trước $a_{4}$ có $C_{5} ^{2}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{4} ^{3}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{5} ^{2}.C_{4} ^{3}=40$.
*) Nếu số 3 đứng sau $a_{4}$ có $C_{5} ^{3}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{3} ^{2}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{5} ^{3}.C_{3} ^{2}=30$.
TH3: $a_{4} =8$ *) Nếu số 3 đứng trước $a_{4}$ có $C_{6} ^{2}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{5} ^{3}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{6} ^{2}.C_{5} ^{3}=150$.
*) Nếu số 3 đứng sau $a_{4}$ có $C_{6} ^{3}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{4} ^{2}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{6} ^{3}.C_{4} ^{2}=120$.
TH4: $a_{4} =9$ *) Nếu số 3 đứng trước $a_{4}$ có $C_{7} ^{2}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{6} ^{3}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{7} ^{2}.C_{6} ^{3}=420$.
*) Nếu số 3 đứng sau $a_{4}$ có $C_{7} ^{3}$ cách chọn ra bộ số đứng trước $a_{4}$, $C_{5} ^{2}$ cách chọn bộ số đứng sau $a_{4}$. Vậy có $C_{7} ^{3}.C_{5} ^{2}=350$.
Vậy số phần tử của biến cố $A$: “ số được chọn luôn có mặt chữ số $3$ và thỏa mãn $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} >a_{5} >a_{6} >a_{7}$.”
Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\frac { 10+40+30+150+120+420+350 } { A_{10} ^{7}-A_{9} ^{6} }=\frac{1}{486}$.