Cho tập hợp $ S=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\} $. Hỏi từ các chữ số của tập $ S $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $ 3 $ chữ số khác nhau đôi một và tổng các chữ số bằng $ 8 $?

Gọi số cần tìm có dạng $ \overline{abc} $, với $ a,b,c\in S $ và $ a\neq 0 $. Vì số tự nhiên có $ 3 $ chữ số khác nhau đôi một và tổng các chữ số bằng $ 6 $ nên $ a,b,c $ chỉ có thể được lập từ các bộ số sau: $ \left\{1;2;5\right\} $;$ \left\{1;3;4\right\} $;$ \left\{0;1;7\right\} $; $ \left\{0;2;6\right\} $và $ \left\{0;3;5\right\} $. Trường hợp $ 1 $: $ a,b,c\in \left\{1;2;5\right\} $ thì ta lập được $ 3!=6 $ số thoả yêu cầu. Trường hợp $ 2 $: $ a,b,c\in \left\{1;3;4\right\} $ thì ta lập được $ 3!=6 $ số thoả yêu cầu. Trường hợp $ 3 $: $ a,b,c\in \left\{0;1;7\right\} $ thì ta lập được $ 2⋅2!=4 $ số thoả yêu cầu. Trường hợp $ 4 $: $ a,b,c\in \left\{0;2;6\right\} $ thì ta lập được $ 2⋅2!=4 $ số thoả yêu cầu. Trường hợp $ 5 $: $ a,b,c\in \left\{0;3;5\right\} $ thì ta lập được $ 2⋅2!=4 $ số thoả yêu cầu. Vậy có $ 6+6+4+4+4=24 $ số thoả yêu cầu.