Phương trình $\log_{3}|x^{2} - 5x| = \log_{5}\Big(x^{2} - 5x + 2\Big)$ có bốn nghiệm $x = \frac{a \pm \sqrt{b}}{c}, x = \frac{a \pm \sqrt{d}}{c}$ trong đó $a, b, c, d$ là các số nguyên dương, $a$ và $c$ là số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + c + d.$

Lời giải Xét phương trình: $\log_{3}|x^{2} - 5x| = \log_{5}\Big(x^{2} - 5x + 2\Big)$ Điều kiện: $x^{2} - 5x \neq 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \neq 0 \\ x \neq 5 \end{array}\right.$ Đặt $\log_{3}|x^{2} - 5x| = \log_{5}\Big(x^{2} - 5x + 2\Big) = t$, ta có hệ phương trình: $$ \left\{\begin{array}{l} |x^{2} - 5x| = 3^{t} \quad (1) \\ x^{2} - 5x + 2 = 5^{t} \quad (2) \end{array}\right. $$ Từ (2) suy ra $x^{2} - 5x = 5^{t} - 2$, thay vào (1) ta được: $$ |5^{t} - 2| = 3^{t} $$ **Trường hợp 1:** Xét $5^{t} - 2 = 3^{t} \Leftrightarrow 5^{t} = 3^{t} + 2 \Leftrightarrow 1 = \left(\frac{3}{5}\right)^{t} + 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{t} \quad (3)$ * Với $t > 1$: $\left(\frac{3}{5}\right)^{t} < \frac{3}{5}$ và $\left(\frac{1}{5}\right)^{t} < \frac{1}{5} \Rightarrow \left(\frac{3}{5}\right)^{t} + 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{t} < 1.$ * Với $t < 1$: $\left(\frac{3}{5}\right)^{t} > \frac{3}{5}$ và $\left(\frac{1}{5}\right)^{t} > \frac{1}{5} \Rightarrow \left(\frac{3}{5}\right)^{t} + 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{t} > 1.$ Do đó $t = 1$ là nghiệm duy nhất của (3). Với $t = 1$, ta có: $x^{2} - 5x = 3 \Leftrightarrow x^{2} - 5x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{5 + \sqrt{37}}{2} \\ x = \dfrac{5 - \sqrt{37}}{2} \end{array}\right.$ (thỏa mãn). **Trường hợp 2:** $|5^{t} - 2| = -3^{t} \Leftrightarrow 5^{t} = 2 - 3^{t} \Leftrightarrow 5^{t} + 3^{t} = 2 \quad (4)$ Tương tự như trường hợp 1, ta có $t = 0$ là nghiệm duy nhất của (4). Với $t = 0$, ta có: $x^{2} - 5x = -1 \Leftrightarrow x^{2} - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2} \\ x = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2} \end{array}\right.$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có bốn nghiệm là $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{37}}{2}, x = \dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ Suy ra $a = 5, b = 37, c = 2, d = 21$ hoặc $a = 5, b = 21, c = 2, d = 37$. Do đó $P = 5 + 37 + 2 + 21 = 65$.