Bất phương trình $\frac{\log_{3}\frac{x}{3}}{\log_{3}x} - \frac{\log_{3}x^{2}}{\log_{3}x - 1} \geq 1$ có $n$ nghiệm nguyên dương trong khoảng $(0; 2024)$. Tìm $n$.

Lời giải Ta có bất phương trình (ĐKXĐ: $x > 0; x \neq 1; x \neq 3$): $$ \frac{\log_{3}\frac{x}{3}}{\log_{3}x} - \frac{\log_{3}x^{2}}{\log_{3}x - 1} \geq 1 $$ $$ \Leftrightarrow \frac{\log_{3}x - 1}{\log_{3}x} - \frac{2\log_{3}x}{\log_{3}x - 1} \geq 1 $$ Đặt $t = \log_{3}x$. Bất phương trình đã cho trở thành: $$ \frac{t - 1}{t} - \frac{2t}{t - 1} \geq 1 $$ $$ \Leftrightarrow \frac{t - 1}{t} - \frac{2t}{t - 1} - 1 \geq 0 $$ $$ \Leftrightarrow \frac{t^{2} - 2t + 1 - 2t^{2} - t(t - 1)}{t(t - 1)} \geq 0 $$ $$ \Leftrightarrow \frac{-2t^{2} - t + 1}{t(t - 1)} \geq 0 $$ Giải bất phương trình trên ta thu được nghiệm: $$ \left[\begin{array}{l}-1 \leq t < 0 \\ 0,5 \leq t < 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-1 \leq \log_{3}x < 0 \\ 0,5 \leq \log_{3}x < 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\frac{1}{3} \leq x < 1 \\ \sqrt{3} \leq x < 3\end{array}\right. $$ Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên dương trong khoảng $(0; 2024)$.