Phương trình đường thẳng

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 4

Bài tập: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song: \( \Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 3 + t \end{cases} \quad \Delta_2: \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{1} \)

\( A. -4x + 6y + 5z - 5 = 0 \)

\(B. -12x + 22y + 13z - 5 = 0 \)

\(C. -x + 2z - 5 = 0 \)

\(D. x - 10y + 3z - 20 = 0 \)

Đáp án

page 17

Bài tập: Cho đường thẳng \(\Delta: \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z-2}{2}\) và mp(P): \(x + y + z = 0\).
Đường thẳng \(\Delta'\) hình chiếu vuông góc của \(\Delta\) xuống mp(P) có vectơ chỉ phương là:

\(A. \overrightarrow{u_{\Delta'}} = (1, 1, -2) \quad B. \overrightarrow{u_{\Delta'}} = (1, -1, 0) \quad C. \overrightarrow{u_{\Delta'}} = (1, 0, -1) \quad D. \overrightarrow{u_{\Delta'}} = (1, -1, 1)\)

Đáp án

Lập phương trình của đường thẳng \(\Delta'\) hình chiếu vuông góc của \(\Delta\) xuống mp(P).

Đáp án

page 18

Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-1}\) và mặt phẳng (P): \(x + 2y + z - 4 = 0\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên (P) là đường thẳng có phương trình:

\(A. \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{-4} \)

\(B. \frac{x}{3} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z + 2}{1} \)

\(C. \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-4} \)

\(D. \frac{x}{3} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 2}{1} \)

(Đề thi TNPT 2021 Câu 45 Mã 101)

Đáp án

page 19

Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \( \Delta: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{5} = \frac{z - 1}{-1} \) và mp(P): \(2x + y + z = 0\). Hình chiếu vuông góc của \(\Delta\) xuống (P) là đường thẳng có phương trình là?

Đáp án

page 20

4. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng trong không gian

Cho 2 đường thẳng:
\( \Delta_1: \begin{cases} x = x_1 + a_1 t \\ y = y_1 + b_1 t \\ z = z_1 + c_1 t \end{cases} \quad
\Delta_2: \begin{cases} x = x_2 + a_2 t' \\ y = y_2 + b_2 t' \\ z = z_2 + c_2 t' \end{cases} \)
lần lượt có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}} \).

Xét hệ: \( \begin{cases} x_1 + a_1t = x_2 + a_2 t' \\ y_1 + b_1 t = y_2 + b_2 t' \\ z_1 + c_1t = z_2 + c_2 t' \end{cases} \quad (*) \)

- Hệ (*) có duy nhất nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta_1 \text{ cắt } \Delta_2 \).
- Hệ (*) có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta_1 \equiv \Delta_2 \).

- \( \begin{cases}\text{Hệ (*) vô nghiệm} \\ \overrightarrow{u_{\Delta_1}} \text{ cùng phương } \overrightarrow{u_{\Delta_2}} \end{cases} \Leftrightarrow \Delta_1 // \Delta_2 \).

- \( \begin{cases}\text{Hệ (*) vô nghiệm} \\ \overrightarrow{u_{\Delta_1}} \text{ không cùng phương } \overrightarrow{u_{\Delta_2}} \end{cases} \Leftrightarrow \Delta_1 \text{ chéo } \Delta_2 \).

Nếu \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\) cùng phương thì:
- \(A(x_1, y_1, z_1) \in \Delta_2 \Rightarrow \Delta_1 \equiv \Delta_2\).
- \(A(x_1, y_1, z_1) \notin \Delta_2 \Rightarrow \Delta_1 //\Delta_2\).

Chỉ nên xét hệ chỉ \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\) không cùng phương!

- \(\Delta_1\) qua \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}} = \dots\).
- \(\Delta_2\) qua \(B(x_2, y_2, z_2)\) và \(\overrightarrow{u_{\Delta_2}} = \dots\).

Nếu \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\) không cùng phương thì:
\( \left[\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\right] \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \Rightarrow \Delta_1 \text{ cắt } \Delta_2. \)
\( \left[\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\right] \cdot \overrightarrow{AB} \neq 0 \Rightarrow \Delta_1 \text{ chéo } \Delta_2. \)

page 21