7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Cho điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) và đường thẳng \(\Delta\) qua \(A(x_1, y_1, z_1)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\):
- \( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} \).
- \( ABNM \) là hình bình hành.
\( \left| \left[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AM}\right] \right| = S_{ABNM} = |\overrightarrow{a}| \cdot \text{MH}. \)
\( d(M, \Delta) = \frac{\left| \overrightarrow{a} , \overrightarrow{AM} \right|}{|\overrightarrow{a}|}. \)
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm \(M(2, 3, 1)\) đến đường thẳng: \( \Delta: \frac{x + 2}{1} = \frac{1 - y}{-2} = \frac{z + 1}{3}. \)
\(A. \sqrt{\frac{150}{7}} \)
\(B. \sqrt{10} \)
\(C. 10 \)
\(D. \sqrt{15}\)
Đáp án
page 32
Bài tập: Cho điểm \( A(1,1,1) \) và đường thẳng \(\Delta\): \( \frac{x-6}{-4} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z+1}{2} \). Tìm tọa độ điểm \( H \) hình chiếu của điểm \( A \) xuống đường thẳng \(\Delta\).
\(A. H(1,2,-3) \)
\(B. H(2,1,-3) \)
\(C. H(-3,1,2) \)
\(D. H(2,-3,1) \)
Đáp án
Bài tập: Viết phương trình đường thẳng \( d \) qua \( A \), \( d \perp \Delta \) và \( d \) cắt \(\Delta\):
Đáp án
Bài tập: Tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến đường thẳng \(\Delta\):
Đáp án
Bài tập: Tính tọa độ điểm \( A' \) đối xứng với \( A \) qua \(\Delta\):
Đáp án
page 33
Bài tập: Xác định tọa độ điểm \( A' \) đối xứng với điểm \( A(3,2,0) \) qua đường thẳng \(\Delta\): \( \frac{x+1}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z+2}{2} \).
\(A. A'(-1,-2,4) \)
\(B. A'(-5,0,4) \)
\(C. A'(-1,0,-4) \)
\(D. A'(-1,0,4) \).
Đáp án
page 34
Bài tập: Cho điểm \( A(1,-2,3) \) và đường thẳng \(\Delta\): \( \frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{-1} \).Xét mặt phẳng P thay đổi luôn chứa đường thẳng \(\Delta\). Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) xuống \(P\). Biết rằng khi mặt phẳng P thay đổi thì điểm \( H \) luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tọa độ tâm \( I \) của đường tròn này là:
\(A. I(2,1,-1) \)
\(B. I(-2,1,1) \)
\(C. I(2,1,1) \)
\(D. I(2,-1,1) \)
Đáp án
page 35
8. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho \(\Delta_1\) qua điểm \( A \) có VTCP \( \vec{a} \).
Cho \(\Delta_2\) qua điểm \( B \) có VTCP \( \vec{b} \).
\(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau.
Nhắc lại:
\( d(\Delta_1, \Delta_2) = d(\Delta_1, (BCGF)) = d(A, \text{mp}(BCGF)) = AH. \)
\( V_{\text{hộp}} = S_{BCGF} \cdot AH = |[\vec{a}, \vec{b}] \vec{AB}| = |[\vec{a}, \vec{b}]| \cdot AH. \)
\( d(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{|[\vec{a}, \vec{b}] \vec{AB}|}{|[\vec{a}, \vec{b}]|}. \)
Ví dụ. Trong không gian Oxyz cho tứ diện \( ABCD \) với: \( A(5,1,3) \), \( B(1,6,2) \), \( C(5,0,4) \), \( D(4,0,6) \). Tính \( d(AB, CD) \).
Đáp án
page 36