\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx \)
Lời giải
Trắc nghiệm: Biết \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx = a + b\pi, \, .\)Khi đó \(a + b \, \) bằng
A. \( \frac{1}{2} \quad\) B. \( 1 \quad\) C. \( 0 \quad\) D. \( \frac{3}{2} \)
Lời giải
\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)
page 102
Tính
a) \( I = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1 + x^6} \, dx \)
b) \( J = \int_{0}^{1} \frac{x^4 + 1}{x^6 + 1} \, dx \)
Lời giải
page 103
\( I = \int_{1}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \frac{x^2 +1}{x^4 - x^2 + 1} \, dx \)
(ĐH Thái Nguyên 2007)
Lời giải
Làm thêm
a) \( \int_{1}^{2+\sqrt{3}} \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} \, dx = \int_{1}^{2+\sqrt{3}} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2} \, dx\)
(Đặt \( t = x - \frac{1}{x} \))
b) \( \int_{1}^{2} \frac{x^2 - 1}{x^4 + x^2 + 1} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 1} \, dx \)
(Đặt \( t = x + \frac{1}{x} \))
page 104
\( I = \int_{1}^{2} \frac{x^2 - 1}{(x^2 + 5x + 1)(x^2 - 3x + 1)} \, dx \)
Lời giải
Làm thêm: \( \int_{1}^{2} \frac{x^2 - 1}{(x^2 + x + 1)(x^2 + 4x + 1)} \, dx \)
Tổng quát: \( \int \frac{x^2 \pm 1}{(x^2 + bx + 1)(x^2 + cx + 1)} \, dx \)
page 105
Bài tập: Giá trị của \( a \) để \( \int_{0}^{a} \left(-3x^2 + 2x + 1\right) \, dx \) lớn nhất, với \( a > 0 \)
A. \( a = 2 \quad\) B. \( a = \frac{1}{3} \quad\) C. \( a = 1 \quad\) D. Một giá trị khác
Lời giải
page 106
Bài tập: Hàm số \( f(x) = (2x + 1)^2 \) có một nguyên hàm là \( F(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) thỏa mãn điều kiện: \( F(-1) = \frac{1}{3} \). Khi đó, \( a + b + c + d \) bằng:
A. \(3 \quad\) B. \(2 \quad\) C. \(4 \quad\) D. 5
Lời giải
page 107