Bài tập: Cho hàm số \( f(x) = 1 - \frac{1}{\cos^2 2x} \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( \int f(x) \, dx = x + \tan 2x + C \)  

B. \( \int f(x) \, dx = x + \frac{1}{2} \cot 2x + C \)  

C. \( \int f(x) \, dx = x - \frac{1}{2} \tan 2x + C \)  

D. \( \int f(x) \, dx = x + \frac{1}{2} \tan 2x + C \)  

Bài tập: Cho hàm số \( f(x) \). Biết \( f(0) = 4 \) và \( f'(x) = 2\cos^2 x + 1 \), với \( \forall x \in \mathbb{R} \). Khi đó \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx\) bằng

A. \( \frac{\pi^2 + 4}{16} \)  

B. \( \frac{\pi^2 + 14\pi}{16} \)  

C. \( \frac{\pi^2 + 16\pi + 4}{16} \)  

D. \( \frac{\pi^2 + 16\pi + 16}{16} \)  

Bài tập: Cho \( \int \frac{f(x)}{x} \, dx = \frac{-1}{3x^3} + C \). Tính \( I = \int_1^e f'(x) \ln x \, dx \)

A. \( I = \frac{4}{e^3} - 1 \)  

B. \( I = \frac{1}{3} ( \frac{4}{e^3}  - 1) \)  

C. \( I = 3( \frac{4}{e^3} - 1 ) \)  

D. \( I = \frac{1}{3} (\frac{4}{e^2}  - 1) \)  

Bài tập: Cho hàm số \( f(x) \) liên tục trên \([1, e]\) biết  \( \int_1^e \frac{f(x)}{x} \, dx = 3 \),  \( f(e) = 2 \) . Tính \( I = \int_1^e f'(x) \ln x \, dx \)

                    A. 5                      B. 1                      C. -1                      D. -5  

Bài tập: Cho hàm số \( f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(4) = 1 \) và \( \int_0^1 x f(4x) \, dx = 1 \).   Khi đó  \(\int_0^4 x^2 f'(x) \, dx\) bằng:

                    A. \( \frac{31}{2} \)                          B. \(-16\)                          C. \( 8 \)                          D. \( 14 \)