Các số $x$ và $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\begin{cases} 0 \le y \le 4 \\ x \ge 0 \\ x - y - 1 \le 0 \\ x + 2y - 10 \le 0 \end{cases}$. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là hình phẳng có diện tích bằng bao nhiêu?

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$: - Vẽ đường thẳng $d_1: x - y - 1 = 0$ đi qua hai điểm $(0; -1)$ và $(1; 0)$. - Vẽ đường thẳng $d_2: x + 2y - 10 = 0$ đi qua hai điểm $(0; 5)$ và $(2; 4)$. - Vẽ đường thẳng $d_3: y = 4$. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác $ABCOE$ với tọa độ các đỉnh lần lượt là: $A(4; 3)$, $B(2; 4)$, $C(0; 4)$, $O(0; 0)$, và $E(1; 0)$. Để tính diện tích miền ngũ giác $ABCOE$, ta gọi $D(0; 3)$. Khi đó, ngũ giác này được chia thành hai hình thang $ABCD$ và $ADOE$ ngăn cách bởi đường nằm ngang $y = 3$: - Diện tích hình thang $ABCD$ là: $$S_1 = \frac{(AD + BC) \cdot CD}{2} = \frac{(4 + 2) \cdot 1}{2} = 3$$ - Diện tích hình thang $ADOE$ là: $$S_2 = \frac{(AD + OE) \cdot OD}{2} = \frac{(4 + 1) \cdot 3}{2} = 7,5$$ Do đó, diện tích của ngũ giác $ABCOE$ cần tìm là: $$S = S_1 + S_2 = 3 + 7,5 = 10,5$$