Bài tập nâng cao · Bài 48
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 48
Từ $X=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên chia $3$ dư $2$ và có $4$ chữ số đôi một khác nhau?
Xem lời giải
Lời giải
Ta xét ba tập hợp: $A=\left\{ \begin{array}{l} 0;3;6 \end{array} \right\},B=\left\{ \begin{array}{l} 1;4;7 \end{array} \right\},C=\left\{ \begin{array}{l} 2;5 \end{array} \right\}$.
Theo giả thiết $a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\vdots 3$ dư $2\Leftrightarrow \left( a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right)\vdots 3$ dư $2.$ Ta xét các trường hợp sau:
+) TH1: Lấy 3 chữ số trong A và 1 chữ số trong C có: $2\left( 4!-3! \right)=36$( số).
+) TH2: Lấy 2 chữ số trong A và 2 chữ số trong B có: $C_{3}^{2}.C_{3}^{2}.4!-C_{2}^{1}.C_{3}^{2}.3!=180$( số).
+) TH3: Lấy 1 chữ số trong A và 1 chữ số trong B và 2 chữ số trong C có:
$C_{3}^{1}.C_{3}^{1}.4!-C_{3}^{1}.3!=198$( số).
+) TH4: Lấy 3 chữ số trong B và 1 chữ số trong C có: $C_{2}^{1}.4!=48$( số).
Vậy có: $36+180+198+48=462$( số)
Theo giả thiết $a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\vdots 3$ dư $2\Leftrightarrow \left( a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right)\vdots 3$ dư $2.$ Ta xét các trường hợp sau:
+) TH1: Lấy 3 chữ số trong A và 1 chữ số trong C có: $2\left( 4!-3! \right)=36$( số).
+) TH2: Lấy 2 chữ số trong A và 2 chữ số trong B có: $C_{3}^{2}.C_{3}^{2}.4!-C_{2}^{1}.C_{3}^{2}.3!=180$( số).
+) TH3: Lấy 1 chữ số trong A và 1 chữ số trong B và 2 chữ số trong C có:
$C_{3}^{1}.C_{3}^{1}.4!-C_{3}^{1}.3!=198$( số).
+) TH4: Lấy 3 chữ số trong B và 1 chữ số trong C có: $C_{2}^{1}.4!=48$( số).
Vậy có: $36+180+198+48=462$( số)