Bài tập nâng cao · Bài 47
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 47
$AB$ là một đoạn thẳng dài $5$ đơn vị trong hệ tọa độ $Oxy$. Tọa độ $x,y$ của $A,B$ là các số nguyên thỏa $0\le x\le9$, $0\le y\le9$. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng $AB$ thỏa mãn?
Xem lời giải
Lời giải
Do $AB=5\Leftrightarrow \left( x_{A}-x_{B}\right)^{2} +\left( y_{A}-y_{B}\right)^{2} =25$.
Vì tọa độ của $A,B$ đều nguyên nên $\left( x_{A}-x_{B}\right)^{2}$ và $\left( y_{A}-y_{B}\right)^{2}$ đều là số tự nhiên.
Do $25=0^{2} +5^{2} =5^{2} +0^{2} =3^{2} +4^{2} =4^{2} +3^{2}$ nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $\left| x_{A}-x_{B}\right|=0$ và $\left| y_{A}-y_{B}\right|=5$.
+ Với $x_{A}-x_{B}=0\Leftrightarrow x_{A}=x_{B}$, ta có $10$ cách chọn số nguyên từ $0$ tới $9$ cho $x_{A},x_{B}$.
+ Với $\left| y_{A}-y_{B}\right|=5$, hoặc $y_{A}=y_{B}+5$ (lúc này $0\leq y_{B}\leq 4$ có $5$ cách chọn cặp $y_{B},y_{A}$) hoặc $y_{B}=y_{A}+5$ (lúc này $0\leq y_{A}\leq 4$ có $5$ cách chọn cặp $y_{B},y_{A}$).
+ Tổng cộng trường hợp 1 có $10\left( 5+5 \right)=100$ cách
Trường hợp 2: $\left| x_{A}-x_{B}\right|=5$ và $\left| y_{A}-y_{B}\right|=0$. Làm tương tự như trường hợp 1 ta cũng có $100$ cách ở trường hợp 2.
Trường hợp 3: $\left| x_{A}-x_{B}\right|=3$ và $\left| y_{A}-y_{B}\right|=4$.
+ Với $\left| x_{A}-x_{B}\right|=3$, hoặc $x_{A}=x_{B}+3$ (lúc này $0\leq x_{B}\leq 6$ có $7$ cách chọn cặp $x_{A},x_{B}$) hoặc $x_{B}=x_{A}+3$ (lúc này $0\leq x_{A}\leq 6$ có $7$ cách chọn cặp $x_{B},x_{A}$).
+ Với $\left| y_{A}-y_{B}\right|=4$, hoặc $y_{A}=y_{B}+4$ (lúc này $0\leq y_{B}\leq 5$ có $6$ cách chọn cặp $y_{B},y_{A}$) hoặc $y_{B}=y_{A}+4$ (lúc này $0\leq y_{A}\leq 5$ có $6$ cách chọn cặp $y_{B},y_{A}$).
+ Tổng cộng trường hợp 3 có $\left( 7+7 \right)\left( 6+6 \right)=168$ cách.
Trường hợp 4: $\left| x_{A}-x_{B}\right|=4$ và $\left| y_{A}-y_{B}\right|=3$. Làm tương tự như trường hợp 3 cũng có $168$ cách.
Vậy có: $2\left( 100+168 \right)=536$ cách.
Vì tọa độ của $A,B$ đều nguyên nên $\left( x_{A}-x_{B}\right)^{2}$ và $\left( y_{A}-y_{B}\right)^{2}$ đều là số tự nhiên.
Do $25=0^{2} +5^{2} =5^{2} +0^{2} =3^{2} +4^{2} =4^{2} +3^{2}$ nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $\left| x_{A}-x_{B}\right|=0$ và $\left| y_{A}-y_{B}\right|=5$.
+ Với $x_{A}-x_{B}=0\Leftrightarrow x_{A}=x_{B}$, ta có $10$ cách chọn số nguyên từ $0$ tới $9$ cho $x_{A},x_{B}$.
+ Với $\left| y_{A}-y_{B}\right|=5$, hoặc $y_{A}=y_{B}+5$ (lúc này $0\leq y_{B}\leq 4$ có $5$ cách chọn cặp $y_{B},y_{A}$) hoặc $y_{B}=y_{A}+5$ (lúc này $0\leq y_{A}\leq 4$ có $5$ cách chọn cặp $y_{B},y_{A}$).
+ Tổng cộng trường hợp 1 có $10\left( 5+5 \right)=100$ cách
Trường hợp 2: $\left| x_{A}-x_{B}\right|=5$ và $\left| y_{A}-y_{B}\right|=0$. Làm tương tự như trường hợp 1 ta cũng có $100$ cách ở trường hợp 2.
Trường hợp 3: $\left| x_{A}-x_{B}\right|=3$ và $\left| y_{A}-y_{B}\right|=4$.
+ Với $\left| x_{A}-x_{B}\right|=3$, hoặc $x_{A}=x_{B}+3$ (lúc này $0\leq x_{B}\leq 6$ có $7$ cách chọn cặp $x_{A},x_{B}$) hoặc $x_{B}=x_{A}+3$ (lúc này $0\leq x_{A}\leq 6$ có $7$ cách chọn cặp $x_{B},x_{A}$).
+ Với $\left| y_{A}-y_{B}\right|=4$, hoặc $y_{A}=y_{B}+4$ (lúc này $0\leq y_{B}\leq 5$ có $6$ cách chọn cặp $y_{B},y_{A}$) hoặc $y_{B}=y_{A}+4$ (lúc này $0\leq y_{A}\leq 5$ có $6$ cách chọn cặp $y_{B},y_{A}$).
+ Tổng cộng trường hợp 3 có $\left( 7+7 \right)\left( 6+6 \right)=168$ cách.
Trường hợp 4: $\left| x_{A}-x_{B}\right|=4$ và $\left| y_{A}-y_{B}\right|=3$. Làm tương tự như trường hợp 3 cũng có $168$ cách.
Vậy có: $2\left( 100+168 \right)=536$ cách.