Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 23
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện đúng 2 lần không đứng cạnh nhau, các chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần.
Xem lời giải
Lời giải
TH1:
Lập một số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 1:
Gọi số cần lập là $abcde$
Chọn một chữ số vào vị trí của $a$ có $8$ cách ( $a\in \left\{ \begin{array}{l} 2,3,4,5,6,7,8,9 \end{array} \right\}$)
Sau đó, chọn 4 chữ số còn lại có $A_{8} ^{4}$ cách ($b,c,d,e\in \left\{ \begin{array}{l} 0,2,3,4,5,6,7,8,9 \end{array} \right\}\setminus \left\{ \begin{array}{l} a \end{array} \right\}$
Vậy có: $8.A_{8} ^{4}=13440$ (số)
Với mỗi số lập được có 6 chỗ có thể chèn chữ số 1 nên có $C_{6} ^{2}$ cách chèn chữ số 1
Có $13440.C_{6} ^{2}=201600$
TH2:
Lập số tự nhiên có các chữ số khác nhau có dạng $10bcde$ có $A_{8} ^{4}=1680$(số)
Chèn thêm chữ số 1 có 5 cách
Vậy có: $5.1680=8400$(số)
Kết luận: Có $201600+8400=210000$(số)
Lập một số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 1:
Gọi số cần lập là $abcde$
Chọn một chữ số vào vị trí của $a$ có $8$ cách ( $a\in \left\{ \begin{array}{l} 2,3,4,5,6,7,8,9 \end{array} \right\}$)
Sau đó, chọn 4 chữ số còn lại có $A_{8} ^{4}$ cách ($b,c,d,e\in \left\{ \begin{array}{l} 0,2,3,4,5,6,7,8,9 \end{array} \right\}\setminus \left\{ \begin{array}{l} a \end{array} \right\}$
Vậy có: $8.A_{8} ^{4}=13440$ (số)
Với mỗi số lập được có 6 chỗ có thể chèn chữ số 1 nên có $C_{6} ^{2}$ cách chèn chữ số 1
Có $13440.C_{6} ^{2}=201600$
TH2:
Lập số tự nhiên có các chữ số khác nhau có dạng $10bcde$ có $A_{8} ^{4}=1680$(số)
Chèn thêm chữ số 1 có 5 cách
Vậy có: $5.1680=8400$(số)
Kết luận: Có $201600+8400=210000$(số)