Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 24
Có bao nhiêu cách trao$18$ cuốn sách bao gồm $7$ cuốn sách Toán, $6$cuốn sách Lý và $5$cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng thể loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho $9$học sinh, mà mỗi học sinh nhận được $2$cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách)?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số học sinh nhận phần thưởng $2$quyển sách toán, lý là$x$.
Số học sinh nhận phần thưởng $2$ quyển sách toán, hóa là $y$.
Số học sinh nhận phần thưởng $2$ quyển sách lý, hóa là $z$.
Theo đề bài ta có$\left\{ \begin{array}{l} x+y=7 \\ x+z=6 \\ y+z=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=3 \\ z=2 \end{array} \right.$
Để trao thưởng cho $9$học sinh thỏa mãn yêu cầu ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tặng $7$quyển toán cho $7$ trong $9$ học sinh có $C_{9} ^{7}$ cách.
Bước 2: Tặng $4$ quyển lý cho $4$ trong $7$ học sinh đã được tặng toán có $C_{7} ^{4}$ cách.
Bước 3: Tặng $3$quyển hóa cho $3$ học sinh đã được tặng toán còn lại có $1$ cách.
Bước 4: Tặng cho $2$học sinh còn lại ( chưa được tặng quyển nào) mỗi học sinh $1$ quyển lý và $1$quyển hóa có$1$ cách.
Vậy số cách trao phần thưởng là: $C_{9} ^{7}$.$C_{7} ^{4}.1.1=1260$.
Số học sinh nhận phần thưởng $2$ quyển sách toán, hóa là $y$.
Số học sinh nhận phần thưởng $2$ quyển sách lý, hóa là $z$.
Theo đề bài ta có$\left\{ \begin{array}{l} x+y=7 \\ x+z=6 \\ y+z=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=3 \\ z=2 \end{array} \right.$
Để trao thưởng cho $9$học sinh thỏa mãn yêu cầu ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tặng $7$quyển toán cho $7$ trong $9$ học sinh có $C_{9} ^{7}$ cách.
Bước 2: Tặng $4$ quyển lý cho $4$ trong $7$ học sinh đã được tặng toán có $C_{7} ^{4}$ cách.
Bước 3: Tặng $3$quyển hóa cho $3$ học sinh đã được tặng toán còn lại có $1$ cách.
Bước 4: Tặng cho $2$học sinh còn lại ( chưa được tặng quyển nào) mỗi học sinh $1$ quyển lý và $1$quyển hóa có$1$ cách.
Vậy số cách trao phần thưởng là: $C_{9} ^{7}$.$C_{7} ^{4}.1.1=1260$.