Bài tập nâng cao · Bài 26
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 26
Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $a^3=b^3+c^3$. Chứng minh tam giác có ba góc nhọn.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $a^3=b^3+c^3$ nên $a$ là cạnh lớn nhất, suy ra $A$ là góc lớn nhất.
Ta chứng minh góc $A$ nhọn là đủ. Thật vậy, ta có:
$a^3=b^3+c^3=b\cdot b^2+c\cdot c^2<a\cdot b^2+a\cdot c^2=a(b^2+c^2)\Rightarrow a^2<b^2+c^2\Rightarrow\cos A>0$.
Vậy ta suy ra góc $A$ nhọn, dẫn đến tam giác có ba góc nhọn.
Ta chứng minh góc $A$ nhọn là đủ. Thật vậy, ta có:
$a^3=b^3+c^3=b\cdot b^2+c\cdot c^2<a\cdot b^2+a\cdot c^2=a(b^2+c^2)\Rightarrow a^2<b^2+c^2\Rightarrow\cos A>0$.
Vậy ta suy ra góc $A$ nhọn, dẫn đến tam giác có ba góc nhọn.