Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 8
Sự tăng trưởng dân số
"Đôi khi ta có thể lập mô hình tăng trưởng dân số thông qua các mô hình hàm số mũ."
Dân số của một thị trấn là 8000 người vào đầu năm 2007 và đạt 15000 người vào cuối năm 2014. Giả sử rằng sự tăng trưởng theo hàm số mũ $P=P_{0}\cdot e^{kt}$, trong đó $P_{0}$ là số dân tại thời điểm gốc, $t$ tính theo năm.
a) Tìm dân số của thị trấn vào cuối năm 2016.
b) Vào năm nào dân số của thị trấn sẽ gấp đôi so với năm 2014 ?
"Đôi khi ta có thể lập mô hình tăng trưởng dân số thông qua các mô hình hàm số mũ."
Dân số của một thị trấn là 8000 người vào đầu năm 2007 và đạt 15000 người vào cuối năm 2014. Giả sử rằng sự tăng trưởng theo hàm số mũ $P=P_{0}\cdot e^{kt}$, trong đó $P_{0}$ là số dân tại thời điểm gốc, $t$ tính theo năm.
a) Tìm dân số của thị trấn vào cuối năm 2016.
b) Vào năm nào dân số của thị trấn sẽ gấp đôi so với năm 2014 ?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $P$ là dân số của thị trấn sau $t$ năm (bắt đầu tính từ tháng 1 năm 2007).
Ta có $P=8000e^{kt}$. Cuối năm 2014, khi $t=8$ và $P=15000$.
Như vậy: $15000=8000e^{8k}\Rightarrow k=\frac{1}{8}\log_{e}\left( \frac{15}{8} \right)\approx 0,079.$
a) Khi $t=10,P=8000e^{10k}\approx 17550$. Vậy dân số của thị trấn vào cuối năm 2016 khoảng 17550 người.
b) Khi $P=30\,000$, ta có: $30000=8000e^{kt}\Rightarrow t=\frac{1}{k}\log_{e}\left( \frac{15}{4} \right)\approx 16,82.$
Vậy vào năm 2023 dân số của thị trấn sẽ gấp đôi so với năm 2014.
Ta có $P=8000e^{kt}$. Cuối năm 2014, khi $t=8$ và $P=15000$.
Như vậy: $15000=8000e^{8k}\Rightarrow k=\frac{1}{8}\log_{e}\left( \frac{15}{8} \right)\approx 0,079.$
a) Khi $t=10,P=8000e^{10k}\approx 17550$. Vậy dân số của thị trấn vào cuối năm 2016 khoảng 17550 người.
b) Khi $P=30\,000$, ta có: $30000=8000e^{kt}\Rightarrow t=\frac{1}{k}\log_{e}\left( \frac{15}{4} \right)\approx 16,82.$
Vậy vào năm 2023 dân số của thị trấn sẽ gấp đôi so với năm 2014.