Bài tự luận · Bài 19
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 19
Một trò chơi sử dụng một hộp đựng 20 quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau được ghi số từ 1 đến 20. Người chơi lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu trong hộp. Gọi $ X $ là số lớn nhất ghi trên 3 quả cầu đã lấy ra.
a) Lập bảng phân bố xác suất của $ X $.
b) Người chơi thắng cuộc nếu trong 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu ghi số lớn hơn 18. Tính xác suất thắng của người chơi.
Hướng dẫn
a) Tập các giá trị có thể của $ X $ là $ \{3;4;…;20\} $. Ta tính $ P(X=k) $, với $ k\in \{3;4;…;20\} $. Số kết quả có thể là $ C_{ 20 } ^{ 3 }=1140 $.
Biến cố $ \{X=k\} $ là biến cố: "Trong 3 quả cầu lấy ra có một quả cầu đánh số $ k $ và 2 quả cầu đánh số nhỏ hơn $ k $ ". Số kết quả thuận lợi là $ C_{ k-1 } ^{ 2 } $.
Vậy $ P(X=k)=\frac { C_{ k-1 } ^{ 2 } } { C_{ 20 } ^{ 3 } }=\frac { (k-1)(k-2) } { 2\cdot 1140 }=\frac { (k-1)(k-2) } { 2280 } $.
b) Biến cố "Người chơi thắng" là biến cố hợp của hai biến cố $ \{X=19\} $ và $ \{X=20\} $.
a) Lập bảng phân bố xác suất của $ X $.
b) Người chơi thắng cuộc nếu trong 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu ghi số lớn hơn 18. Tính xác suất thắng của người chơi.
Hướng dẫn
a) Tập các giá trị có thể của $ X $ là $ \{3;4;…;20\} $. Ta tính $ P(X=k) $, với $ k\in \{3;4;…;20\} $. Số kết quả có thể là $ C_{ 20 } ^{ 3 }=1140 $.
Biến cố $ \{X=k\} $ là biến cố: "Trong 3 quả cầu lấy ra có một quả cầu đánh số $ k $ và 2 quả cầu đánh số nhỏ hơn $ k $ ". Số kết quả thuận lợi là $ C_{ k-1 } ^{ 2 } $.
Vậy $ P(X=k)=\frac { C_{ k-1 } ^{ 2 } } { C_{ 20 } ^{ 3 } }=\frac { (k-1)(k-2) } { 2\cdot 1140 }=\frac { (k-1)(k-2) } { 2280 } $.
b) Biến cố "Người chơi thắng" là biến cố hợp của hai biến cố $ \{X=19\} $ và $ \{X=20\} $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Tập các giá trị có thể của $ X $ là $ \{3;4;…;20\} $.
Tiếp theo ta cần tính $ P(X=i) $, với $ i\in \{3;4;…;20\} $.
Số kết quả có thể là $ C_{ 20 } ^{ 3 }=1140 $.
Biến cố $ \{X=k\} $ là biến cố: "Trong 3 quả cẩu lấy ra có 1 quả cẩu đánh số $ k $ và 2 quả cẩu đánh số nhỏ hơn $ k $ ".
Công đoạn 1: Chọn quả cẩu mang số $ k $: Có 1 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn 2 quả cẩu trong tập $ \{1;2;…;k-1\} $: Có $ C_{ k-1 } ^{ 2 } $ cách chọn.
Vậy số kết quả thuận lợi là: $ 1×C_{ k-1 } ^{ 2 }=C_{ k-1 } ^{ 2 } $.
Vậy $ P(X=k)=\frac { C_{ k-1 } ^{ 2 } } { C_{ 20 } ^{ 3 } }=\frac { (k-1)(k-2) } { 2\cdot 1140 }=\frac { (k-1)(k-2) } { 2280 } $.
Bảng phân bố xác suất của $ X $ là:
$ X $ 3 $ … $ $ k $ $ … $ 20
$ P $ $ \frac { 1 } { 1140 } $ $ \frac { (k-1)(k-2) } { 2280 } $ 0,15
b) Biến cố: "Người chơi thắng" là biến cố hợp của hai biến cố $ A=\{X=19\} $ và $ B=\{X=20\} $.
Theo công thức cộng hai biến cố xung khắc ta có xác suất thắng của người chơi là:
$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=P(X=19)+P(X=20)\approx 0,134+0,15=0,284. $
Tiếp theo ta cần tính $ P(X=i) $, với $ i\in \{3;4;…;20\} $.
Số kết quả có thể là $ C_{ 20 } ^{ 3 }=1140 $.
Biến cố $ \{X=k\} $ là biến cố: "Trong 3 quả cẩu lấy ra có 1 quả cẩu đánh số $ k $ và 2 quả cẩu đánh số nhỏ hơn $ k $ ".
Công đoạn 1: Chọn quả cẩu mang số $ k $: Có 1 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn 2 quả cẩu trong tập $ \{1;2;…;k-1\} $: Có $ C_{ k-1 } ^{ 2 } $ cách chọn.
Vậy số kết quả thuận lợi là: $ 1×C_{ k-1 } ^{ 2 }=C_{ k-1 } ^{ 2 } $.
Vậy $ P(X=k)=\frac { C_{ k-1 } ^{ 2 } } { C_{ 20 } ^{ 3 } }=\frac { (k-1)(k-2) } { 2\cdot 1140 }=\frac { (k-1)(k-2) } { 2280 } $.
Bảng phân bố xác suất của $ X $ là:
$ X $ 3 $ … $ $ k $ $ … $ 20
$ P $ $ \frac { 1 } { 1140 } $ $ \frac { (k-1)(k-2) } { 2280 } $ 0,15
b) Biến cố: "Người chơi thắng" là biến cố hợp của hai biến cố $ A=\{X=19\} $ và $ B=\{X=20\} $.
Theo công thức cộng hai biến cố xung khắc ta có xác suất thắng của người chơi là:
$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=P(X=19)+P(X=20)\approx 0,134+0,15=0,284. $