Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 19
Bạn Minh tham gia một trò chơi như sau:
Trên mặt sàn có vẽ một trục số. Ban đầu, Minh đứng tại vị trí 0 trên trục số và tung một đồng xu cân đối, đồng chất một cách độc lập. Nếu đồng xu ra mặt ngửa (kí hiệu là $ N $) thì di chuyển 1 đơn vị theo chiều dương. Nếu đồng xu ra mặt sấp (kí hiệu là S) thì di chuyển 1 đơn vị theo chiều âm. Minh thực hiện 8 lần tung đồng xu một cách độc lập. Nếu Minh di chuyển được ít nhất 4 đơn vị theo chiều dương thì sẽ thắng cuộc. (Chẳng hạn, nếu kết quả 8 lần tung đồng xu là $ N-S-N-N-N-N-N-N $ thì Minh thắng.)
Gọi $ X $ là số lần đồng xu của Minh ra mặt ngửa.
a) Gọi tên phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên $ X $.
b) Tính xác suất thắng của Minh.
Xem lời giải
Lời giải
a) Phép thử $ T $ là: "Tung đồng xu cân đối, đồng chất". E là biến cố: "Đồng xu ra mặt ngửa".
Ta có $ P(E)=\frac { 1 } { 2 } $. $ X $ là số lần xuất hiện biến cố $ E $ trong 8 lần thực hiện lặp lại phép thử $ T $ một cách độc lập. Theo Nhận xét (sau HĐ2), khi đó $ X $ là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với $ n=8;p=\frac { 1 } { 2 } $.
b) Vì $ X $ là số lần đồng xu của Minh ra mặt ngửa nên số lần đồng xu của Minh ra mặt sấp là $ 8-X $. Minh di chuyển được $ X-(8-X)=2X-8 $ đơn vị theo chiều dương.
Minh thắng cuộc nếu $ 2X-8\geq 4 $, tức là $ X\geq 6 $.
Vậy xác suất để Minh thắng cuộc là $ P(X\geq 6) $. Theo chú ý về phân bố nhị thức, ta có:
$ P(X\geq 6)=C_{ 8 } ^{ 6 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 8 } +C_{ 8 } ^{ 7 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 8 } +C_{ 8 } ^{ 8 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 8 } =\frac { 1 } { 256 }\cdot (28+8+1)=\frac { 37 } { 256 }\approx 0,1445 $
