Bài tự luận · Bài 14
Dạng 1. Xác định phương trình chính tắc của ba đường conic
Bài tự luận Ba đường conic · Bài 14
(KNTT10) Viết phương trình chính tắc của parabol $(P)$, biết rằng $(P)$ có đường chuẩn là đường thẳng $\Delta:x+4=0$. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiêu điểm của $(P)$ bằng 5.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình chính tắc của $(P)$ có dạng $y^2=2px$, trong đó $p>0$.
Vì $(P)$ có đường chuẩn là $\Delta:x+4=0\Leftrightarrow x=-4\Rightarrow-\dfrac p2=-4\Leftrightarrow p=8$.
Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^2=16x$.
Gọi $M(x_0;y_0)$. Vì $M$ thuộc $(P)$ nên ta có $d(M,\Delta)=MF=5\Leftrightarrow\dfrac{|x_0+4|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5\Leftrightarrow|x_0+4|=5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_0=1\\x_0=-9\end{array}\right.$
Với $x_0=-9$, thay vào phương trình của $(P)$ ta được $y_0^2=16(-9)=-144$, phương trình này vô nghiệm.
Với $x_0=1$, thay vào phương trình của $(P)$ ta được $y_0^2=16\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y_0=4\\y_0=-4\end{array}\right.$
Vậy $M(1;4)$ hoặc $M(1;-4)$.
Lưu ý. Ta có thể tìm được toạ độ điểm $M(x_0;y_0)$ bằng cách giải hệ $\left\{\begin{array}{l}M\in(P)\\MF=5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y_0^2=16x_0\\\sqrt{(x_0-4)^2+y_0^2}=5\end{array}\right.$.
Vì $(P)$ có đường chuẩn là $\Delta:x+4=0\Leftrightarrow x=-4\Rightarrow-\dfrac p2=-4\Leftrightarrow p=8$.
Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^2=16x$.
Gọi $M(x_0;y_0)$. Vì $M$ thuộc $(P)$ nên ta có $d(M,\Delta)=MF=5\Leftrightarrow\dfrac{|x_0+4|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5\Leftrightarrow|x_0+4|=5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_0=1\\x_0=-9\end{array}\right.$
Với $x_0=-9$, thay vào phương trình của $(P)$ ta được $y_0^2=16(-9)=-144$, phương trình này vô nghiệm.
Với $x_0=1$, thay vào phương trình của $(P)$ ta được $y_0^2=16\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y_0=4\\y_0=-4\end{array}\right.$
Vậy $M(1;4)$ hoặc $M(1;-4)$.
Lưu ý. Ta có thể tìm được toạ độ điểm $M(x_0;y_0)$ bằng cách giải hệ $\left\{\begin{array}{l}M\in(P)\\MF=5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y_0^2=16x_0\\\sqrt{(x_0-4)^2+y_0^2}=5\end{array}\right.$.