Bài tự luận · Bài 13
Dạng 1. Xác định phương trình chính tắc của ba đường conic
Bài tự luận Ba đường conic · Bài 13
(KNTT10) Viết phương trình chính tắc của hypebol $(H)$, biết $(H)$ đi qua điểm $M(3\sqrt2;-4)$ và có một tiêu điểm là $F_2(5;0)$.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình chính tắc của $(H)$ có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a,b>0$.
Do $(H)$ có một tiêu điểm là $F_2(5;0)$ nên ta có $c=5\Rightarrow a^2+b^2=c^2=25\Leftrightarrow a^2=25-b^2$.
Vì $(H)$ đi qua điểm $M(3\sqrt2;4)$ nên ta có $\dfrac{(3\sqrt2)^2}{a^2}-\dfrac{4^2}{b^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{18}{a^2}-\dfrac{16}{b^2}=1$. (1)
Đặt $t=b^2>0\Rightarrow a^2=25-t$. Thay vào (1) ta được $\dfrac{18}{25-t}-\dfrac{16}{t}=1\Leftrightarrow18t-16(25-t)=(25-t)t\Leftrightarrow t^2+9t-400=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=16\\t=-25\end{array}\right.$
Đối chiếu với điều kiện $t>0$ ta được $t=16$.
Suy ra $b^2=t=16,a^2=25-t=9$.
Vậy phương trình chính tắc của $(H)$ là $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$.
Lưu ý. Trong phương trình chính tắc của hypebol, ta có $0<a,b<c$. Ngoài ra không có sự so sánh giữa $a$ và $b$.
Do $(H)$ có một tiêu điểm là $F_2(5;0)$ nên ta có $c=5\Rightarrow a^2+b^2=c^2=25\Leftrightarrow a^2=25-b^2$.
Vì $(H)$ đi qua điểm $M(3\sqrt2;4)$ nên ta có $\dfrac{(3\sqrt2)^2}{a^2}-\dfrac{4^2}{b^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{18}{a^2}-\dfrac{16}{b^2}=1$. (1)
Đặt $t=b^2>0\Rightarrow a^2=25-t$. Thay vào (1) ta được $\dfrac{18}{25-t}-\dfrac{16}{t}=1\Leftrightarrow18t-16(25-t)=(25-t)t\Leftrightarrow t^2+9t-400=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=16\\t=-25\end{array}\right.$
Đối chiếu với điều kiện $t>0$ ta được $t=16$.
Suy ra $b^2=t=16,a^2=25-t=9$.
Vậy phương trình chính tắc của $(H)$ là $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$.
Lưu ý. Trong phương trình chính tắc của hypebol, ta có $0<a,b<c$. Ngoài ra không có sự so sánh giữa $a$ và $b$.