Bài tập nâng cao · Bài 73
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 73
Cho hàm số $y=x^{3}-3x+2$ có đồ thị $\left( C \right).$ Biết rằng trên $\left( C \right)$ có hai điểm $A\left( x_A;y_A \right),B\left( x_B;y_B \right)$ phân biệt, các tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A,B$ có cùng hệ số góc, đồng thời đường thẳng đi qua $A$ và $B$ vuông góc với đường thẳng $x+y-5=0.$ Tính tổng $x_A-2x_B+2y_A-3y_B,$ biết $x_A>x_B$.
Xem lời giải
Lời giải
$y=x^{3}-3x+2\Rightarrow y'=3x^{2}-3$
Tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A,B$ có cùng hệ số góc và chỉ khi $f'\left( x_A \right)=f'\left( x_B \right)\Leftrightarrow x_A^{2}=x_B^{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_A=x_B\left( L \right) \\ x_A+x_B=0 \end{array} \right.$
$\Rightarrow A,B$ đối xứng nhau qua $I\left( 0;2 \right)$ là tâm đối xứng của $\left( C \right).$
$AB\perp d:x+y-5=0\Rightarrow AB:x-y+m=0.$
$AB$ qua $I$ nên ta có $m=2\Rightarrow AB:x-y+2=0.$
Khi đó hoành độ $A,B$ thỏa mãn phương trình
$x^{3}-3x+2=x+2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\ (L) \\ x=\pm 2 \end{array} \right.\Rightarrow A\left( 2;4 \right),B\left( -2;0 \right)$
$x_A-2x_B+2y_A-3y_B=14.$
Tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A,B$ có cùng hệ số góc và chỉ khi $f'\left( x_A \right)=f'\left( x_B \right)\Leftrightarrow x_A^{2}=x_B^{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_A=x_B\left( L \right) \\ x_A+x_B=0 \end{array} \right.$
$\Rightarrow A,B$ đối xứng nhau qua $I\left( 0;2 \right)$ là tâm đối xứng của $\left( C \right).$
$AB\perp d:x+y-5=0\Rightarrow AB:x-y+m=0.$
$AB$ qua $I$ nên ta có $m=2\Rightarrow AB:x-y+2=0.$
Khi đó hoành độ $A,B$ thỏa mãn phương trình
$x^{3}-3x+2=x+2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\ (L) \\ x=\pm 2 \end{array} \right.\Rightarrow A\left( 2;4 \right),B\left( -2;0 \right)$
$x_A-2x_B+2y_A-3y_B=14.$